分割理论
和朋友开兰扎的三个问题的玩笑很有趣。前两个问题的答案不是正则图。这些图形的巧妙划分表明，既然一个正方形不能分成五个小正方形，它必须分成五个独立的形状。很遗憾，答案如此简单，但很少有人想到它。这种方法是将一个正方形分成五等份的唯一方法。
如果你的朋友对这类问题感兴趣，你可以问他(或她)第四个类似的问题。首先，让您的朋友看看图17所示的图。你怎么能把它分成四个形状相同的小块呢？它能被分成三个相同形状的小块吗？
图17
你的朋友可能会在一些艰难的思考和困惑后放弃，然后你会给他(或她)答案。面对如此简单的答案，你的朋友肯定会感到震惊和羞愧。这个问题的答案与兰扎划分正方形的想法相同。答案如图18所示。这种方法也可以将图形分成任何相等的部分。
这种问题，像奶酪切割问题一样，是再创造数学的一个重要分支，有时被称为“分割理论”。它为我们解决平面几何和立体几何中的许多实际问题提供了有效的方法。兰扎的前两个问题更有趣，因为分割后的小块在形状上与分割前的大块相似。如果一个图形可以分成几个小图形，这些小图形彼此相同，并且与原始图形相似，那么这个图形就叫做“代表”图形。
图19列出了几个可缩小的图形，你能把它们分成几个小图形吗？这些小图形彼此相同，形状与原始图形相似。
图19
“显然，几个小的可收缩图形可以组合成相同形状的大的可收缩图形。假设某些可收缩的图形可以是无穷无尽的，可以推断出它们组合在一起的相同形状的大的可收缩图形将逐渐充满无穷无尽的平面。例如，兰扎解决的第一个问题是L形可收缩图。四个相同的小L形可以组合成一个大L形，然后四个相同的大L形可以组合成一个更大的L形。如果我们继续这样无休止地战斗，结果当然会是一架无休止的飞机。相反，大的L形被分成四个小的L形，而小的L形进一步被分成四个小的L形。如果这种情况持续下去，这个数字将会越来越小，直到无穷小。
我们还没有对可收缩图形做足够的研究。每个已知的可收缩图形都可以通过重复拼接用一个平面填充。换句话说，通过水平延伸而不是旋转或折叠，基本的可折叠图形被制成一个平面。是否有一个不可重复的可缩小的数字？这是拼接理论中一个尚未解决的难题。
我们对空间中的可压缩图的研究甚至更有限。立方体是这种空间的一个可收缩的图形，因为八个立方体可以组合成一个大立方体，就像四个正方形组合成一个大正方形一样。你能想出另一个三维可缩小的图形吗？
如果我们不要求分割后的小图形在形状上与原始图形相似，那么我们也可以从这些问题中找出其他的兴趣。例如，如图20所示，它是一个由五个小正方形组成的T形。它不能被分成四个小的T形，但是你能把它分成四个独立的形状吗？
图20
要实现将一个平面图形分成尽可能少的全等图形(例如两个副本)的目标更加困难。图21给出了几个例子。你有兴趣尝试分开它吗？答案可以在这本书的附录中找到。
分割理论的另一个分支是将已知的多边形分成尽可能少的部分，当然形状不受限制，然后这些部分可以重新组合成另一个不同的给定多边形。例如，一个正方形至少可以分成几个部分，这样被分割的部分就可以重新组合成一个正三角形？(答案是4份)这部分内容在“几何分割的重组问题”(几何分割中的创造性问题)和“亨利？林格的两本书《哈利·林德格伦如何解决它们》进行了详细而精彩的讨论。