几何学是对形状的研究。这个定义听起来总是含糊不清，没有实质内容，尽管它相对来说是科学的。从某种意义上来说，几何学家是审美的评判者，因为他们经常评判一个女人的曲线是否优美，但是对一个女人曲线的这种评价远远不是几何这个术语的含义。人们常说两点之间的曲线是最美的。虽然这里提到了曲线，而且曲线的确是几何学中的一个基本术语，但是，这样的结论更适合属于美学范畴而不是数学范畴。
我们可以从对称性的角度更准确地定义几何。所谓对称是指经过某种变换后形成的图形与原始图形相同。例如，字母“H”具有180度的旋转对称性。也就是说，如果我们把字母旋转180度--头朝下，底朝上--我们得到的数字仍然是字母" h "。“啊哈”这个词具有反射对称性。把它放在镜子前，镜子反射的单词仍然是“啊哈”。
一个图形经过特定的对称变换后，它的各种性质不会改变，几何学的每一个分支都可以定义为对这一性质的研究。例如，欧几里德平面几何涉及研究图形在平面上移动、旋转、在镜子前反射或按比例放大或缩小时的不变属性。仿射几何研究图形以某种方式“扩展”时的不变性质。投影几何研究投影状态下的不变性质。拓扑学研究的重点是将图形的形状视为柔软和可变的。在形状改变的过程中，问题的一些特征并没有改变，也就是说，问题是通过保持相同的属性而仅仅改变形状来解决的。
这本书的每一章都或多或少地涉及到一些几何问题，但这一章的重点是解决几何问题。当然，我们在这里选择的几何问题都是看似复杂的问题，可以用一点神奇的技巧轻松解决。本章的第一个问题是切奶酪的问题。在这个问题中，我们可以很容易地发现一个非常简单的问题涉及到数学的许多分支。它涉及平面几何、立体几何、组合和代数。如果这个问题再延伸一步，它还将涉及数学中的另一个重要理论——有限差分理论。
“曲线导致封闭”是一个拓扑问题。将一条虚线转换成一条线的奇妙想法被用来解决这个问题，它显示了一种形式的拓扑转换——一个棘手的问题变成了一个简单而清晰的问题，在一条简单的闭合曲线上有几个点按顺序排列。线的变换包含了拓扑的本质。为了解决这个问题，我们可以把这条虚线变成一个圆，甚至一个正方形或三角形。
接下来的两个问题——“魔剑”和“魔法路线”——带领我们走出平面，进入三维空间中的欧几里德几何王国。从飞行路线来了一个著名的曲线问题，即四只小海龟的路线。从这个问题，我们可以很容易地找出多少复杂和困难的计算可以节省使用一个简单的技能有时。兰扎的测量问题又把我们带回了平面，使我们了解了欧几里德几何中的除法理论和收缩理论。可收缩理论属于平面组合几何，而欧几里德小姐的切割问题属于立体组合几何。
地毯问题和由此产生的带孔球问题都表明了一个基本原理，即一个量似乎是一个变量，但当其他参数改变时，这个量保持不变。无论球上的洞有多宽或球的半径有多大，在球上挖了一个洞后，剩余部分的体积总是保持不变。这难道不是一个令人惊讶的结论吗？当数学家第一次意识到这一事实时，他们也应该感到惊讶，但想必他会补充说“这太美了！”
恐怕很少有人能确切地理解数学家所说的“美丽”是什么意思——也许是因为有一种强烈的意外而简单地发现问题的感觉，但是在知道了“美丽”原理或证明了“美丽”原理之后，所有的数学家都会像我们知道美丽一样高兴。几何，因为它的直观和视觉特征，经常呈现一些美丽的原则或美丽的证明。在这一章中，你可以看到一些精彩的例子。