“计算”一词被广泛使用。在本章中，我们讨论的范围仅限于整数的加法、减法、乘法和除法这四种运算。
在人类早期的某个时刻(确切时间无法确定)，原始人出于某种原因慢慢发现事物是可以计数的，而计数的结果与计数的顺序无关。例如，如果你用手指数两只羊，这与你开始数哪只羊无关，也与你是用拇指还是小指开始数没有关系，最后总是数到2。如果你数两只羊，然后是一只，你必须数到三。
人类在理解21 = 3这样的计算理论时，一定经历了很长一段时间。如果我们能打开过去历史发展的画面，我们肯定会发现没有一个时代能让我们说"这是人类发明计算机的时代"。这就像儿童对数计算的认知过程。一个孩子可能在某个时刻第一次说1+1=2，但在他或她第一次用语言描述它之前。理解这个公式的过程可能经历了很长时间。
尽管从数字系统的公理和定义中推导出来的推理是在历史时刻出现的，但这并不意味着我们可以仅仅通过聆听来判断某个计算语句是否正确。例如，有人声称12 345 679×9=111 111 111，在他被乘法验证之前你不能完全相信。计算中的一些定理陈述看起来很简单，但是它们的内涵如此深刻，以至于没有人知道它们是否正确。哥德巴赫猜想是一个著名的例子。任何大于2的偶数都可以表示为两个质数的和吗？到目前为止，没有人能证明它是正确的，但是没有人能举出反例。
在这一部分，我们考虑一类相对简单的计数问题。如果我们处理得当，所有问题都有非常简单的解决办法。虽然我们选择的问题非常基础，但它们引入了一些重要的概念和技术，引导我们达到“数论”的某个水平，而“数论”过去被称为“高级计算”。例如，当书的“记录是否需要被分割”一节引入了“丢番图”分析。随着方程积分解的发现，“多余的那个”包含了最少公倍数的最基本概念，根据“中国剩余定理”可以得到一个意想不到的简单解。
二进制分类在计算机研究和分类理论中起着重要作用。它构成了猜测海伦“未列出的电话号码”的基础，并引入了记忆二进制。“鸽子洞原理”是数论中许多高深证明中最基本的。用来证明两个有趣的结果。一个是关于钱，另一个是关于头发长在头上。两个整数是质数(没有公约数)的论点只能在12点钟时完全重合，这是一个通常由乏味的代数方法证明的论点。
这个定理提供了一个令人惊讶的简单方法。
瓶子计数中的一个难题通过使用模运算简单地结束了，这导致了约瑟夫问题，这是一个典型的数字问题，类似于纸牌游戏中的“全吃”方法。
尽管这部分问题是数学家们共同面临的，但它在数论的重要领域开辟了一条探索之路。