(注意:所有零标记为阿尔夫(0)，所有一标记为阿尔夫(1)，依此类推。)
因为alf(0)是一个无限基数，而Allaf是一个不同于有限运算的神奇运算，所以下面的结果并不奇怪:
alf(0)+1=alf(0)
alf(0)+n=alf(0)
alf(0)+alf(0)=alf(0)
alf(0)Xn=alf(0)
alf(0)Xalf(0)=alf(0)
Alf(0)是自然数集的基数。只要是可数集，无限基数就必须是alf(0)。从可序性出发，我们知道整数集和有理数集的基数是ALF(0)；或者从它们的基数alf(0)来看，它们是可数集。然而，一个不可数的实数集合的存在性(它可以被康托的尘埃线所否定)大于阿尔夫(0)。乘法不能突破阿尔夫(0)，但幂集可以突破:2ALF (0) =阿尔夫(1)
可以证明实数集的基数卡(r) = alf (1)。此外，阿拉夫的“家庭”不能被一劳永逸地接受:2ALF(1)= ALF(2)；2 alf(2)= alf(3)；……
阿尔夫(2)是什么意思？人们努力思考并得出结论，空间中所有曲线的数量。但是后来，人类绞尽脑汁，到目前为止，他们已经知道该做什么了。此外，连续统还有一个令人困惑的难题:“在阿尔夫(0)和阿尔夫(1)之间还有另一个基数吗？
公元1878年，康托提出了阿尔夫(0)和阿尔夫(1)之间没有其他基数的猜想。然而，康托本人当时无法证实这一点。
公元1900年，在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，德国哥廷根大学的希尔伯特教授提出，在20世纪要解决的23个世界著名的数学问题中，连续统假说是最突出的一个。然而，这个问题的最终结果完全出乎意料。
公元1938年，奥地利数学家哥德尔证明了“连续统假说永远不会导致矛盾”，这意味着人类不可能发现连续统假说的错误。1963年，美国数学家科恩实际上证明了“连续统假说是独立的”，这意味着连续统假说根本无法得到证明。