现代数学像参天大树一样，有许多分支和无数分支。这棵生机勃勃的树上挂着无数的数学问题。其中，最令人眼花缭乱的是四色地图问题、费马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为现代最难的三个数学问题。
300多年来，费马大定理让世界上许多著名的数学家筋疲力尽，其中一些人甚至用了一辈子。费马大定理的神秘面纱终于在1995年揭开，并由43岁的英国数学家威尔斯证明。这被认为是“20世纪最伟大的数学成就”。
费马大定理的起源
这个故事涉及两个相隔1400年的数学家，一个是古希腊的丢番图，另一个是法国的费马。丢番图的活动发生在公元250年左右。
1637年，30多岁的费马正在读丢番图著名著作《算术》的法文译本。在他的书里，他在这一页的空白处用拉丁文写下了丢番图方程x ^ 2+y ^ 2 = z ^ 2的所有正整数解:“任何一个数的立方都不能被分成两个数的立方之和；任何数的四次方都不能被分成两个数的四次方之和。一般来说，不可能把一个高于二次幂的幂分成两个相同幂的幂的和。我已经找到了这句话的有力证据，但不幸的是，这里的空白处太小，无法书写。”
费马死后，人们在整理他的遗物时发现了写在书眉上的字。1670年，他的儿子出版了费马笔记本的这一部分，每个人都知道这个问题。后来，人们称这一判断为费马大定理。数学语言中的表达式是:一个形状像x n+y n = z n的方程，当n大于2时，没有正整数解。
费马是一个业余数学爱好者，被称为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近的一个皮革商人家庭。童年是家庭教育。当他长大后，他的父亲送他去大学学习法律，毕业后成为一名律师。自1648年以来，他一直是图卢兹市议会的成员。
他非常热爱数学，把所有的业余时间都用来学习数学和物理。由于他思维敏捷、记忆力强以及学习数学所必需的不屈不挠的精神，他取得了丰硕的成果，使他成为17世纪最伟大的数学家之一。
艰难的探索
起初，数学家想重新发现费马没有写的“奇妙的证明”，但没有人成功。著名数学家欧拉通过无限外推证明了方程x ^ 3+y ^ 3 = z ^ 3和x ^ 4+y ^ 4 = z ^ 4不能有正整数解。
因为任何大于2的整数，如果不是4的倍数，都必须是奇数或其倍数。因此，只要能证明n = 4且n是任意奇素数，方程就没有正整数解，费马大定理就得到充分证明。n = 4的情况已经被证明，所以问题集中在证明n等于一个奇素数的情况。
在欧拉证明了n = 3和n = 4之后，勒让德和狄利克雷分别在1823年和1826年独立地证明了n = 5，而拉梅在1839年证明了n = 7。就这样，一个接一个地证明奇数质数的长征开始了。
其中，德国数学家库默做出了重要贡献。他介绍了自己用现代代数的方法发明的“理想数”和“部分圆数”的概念，并指出费马大定理只有在n等于一些称为不规则素数的值时才是不正确的，因此只需要研究这些数。100人中只有37、59和67个这样的数字。他还特别证明了当n = 37，59，67时，方程x n+y n = z n不能有正整数解。这将费马大定理推到了n在100以内的地步。库默“分批”证明了这个定理，人们认为这是一个重大突破。1857年，他获得了巴黎科学院的金牌。
虽然这种“长征”式的证明不断打破新的记录，例如，在1992年它甚至输入了N = 1,000,000，但这并不意味着定理已经被证明了。似乎需要另一种方法。
谁将获得10万马克的奖励
自费马时代以来，巴黎科学院已经两次向证明费马大定理的人提供奖章和奖金，布鲁塞尔科学院也提供了大量的奖励，但毫无效果。1908年，当德国数学家伏尔斯克尔去世时，他把自己的10万马克捐给了德国科廷根科学协会，作为解决费马大定理的奖金。
科廷根科学协会宣布奖金将在100年内有效。科廷根科学协会不负责审查手稿。
100，000马克在当时是一笔巨大的财富，费马大定理是一个小学生能够理解的问题。因此，不仅那些专攻数学的人，而且许多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官员和普通公民都在研究这个问题。在很短的时间内，各种出版物已经出版了数以千计的证书。
当时，一家名为“数学和物理文献记录”的德国杂志自愿对这一领域的论文进行评估。到1911年初，已经检查了111个“证据”，所有这些都是错误的。后来，它承受不了同行评议的沉重负担，于是宣布停止评议和评议工作。然而，证据的浪潮仍在汹涌澎湃。尽管德国的货币在两次世界大战后已经多次大幅贬值，但最初的100，000马克兑换成后来的马克几乎没有什么价值。然而，热爱科学的宝贵精神仍然鼓励许多人继续这项工作。
延迟证明
通过前人的努力，费马大定理的证明已经取得了很多成果，但是毫无疑问，要证明这个定理还有很长的路要走。我该怎么办？将来必须使用一种新方法。一些数学家采用了传统的方法——变换。
人们把丢番图方程的解与代数曲线上的某一点联系起来，这就变成了代数几何的一种变换。费马问题只是丢番图方程的一个特例。基于黎曼的工作，1922年，英国数学家莫德尔提出了一个重要的猜想。假设F(x，y)是两个变量x，y的有理系数多项式，那么当曲线F(x，y) = 0(与曲线相关的一个量)大于1时，方程F(x，y)= 0至多有一组有理数。1983年，29岁的德国数学家福廷斯利用苏联的沙法拉·韦奇关于代数几何的一系列结果证明了莫德尔猜想。这是证明费马大定理的另一个重大突破。福廷斯在1986年获得了菲尔兹奖。
威尔斯仍然使用代数几何来攀爬。他奇妙地将他人的成就联系起来，并从走这条道路的征服者的经历和教训中吸取教训。他注意到了一条新的迂回路线:如果孤山-智村猜想成立，那么费马大定理一定成立。这是德国数学家费勒在1988年研究日本数学家固山-治春1955年关于椭圆函数的一个猜想时发现的。
威尔斯出生在英国牛津的一个神学家庭，从小就对费马大定理非常好奇和感兴趣。这个奇妙的定理使他进入了数学的殿堂。大学毕业后，他开始了童年的梦想，并决心实现自己的童年梦想。他极其秘密地研究了费马大定理，守口如瓶，没有放出任何风声。
经过七年的坚持，他一直贫穷到1993年6月23日。这一天，在英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里举行了一次例行学术会议。记者威尔斯就他的研究成果发表了两个半小时的演讲。10点30分，在他的报告结束时，他平静地宣布:“因此，我已经证明了费马大定理”。这句话就像一声霹雳，让许多只需要例行掌声的手举在空中，大厅一片寂静。半分钟后，雷鸣般的掌声似乎推翻了大厅的屋顶。英国学者，不管他们优雅的绅士风度，都欣喜若狂。
这个消息很快在全世界引起了轰动。各种大众媒体纷纷报道，称之为“世纪成就”。据信，威尔斯最终证明了费马大定理，并于1993年被列为世界十大科技成就之一。
但是很快，媒体很快报道了另一条“爆炸性”新闻:威尔斯的200页的论文在提交审查时被发现有缺陷。
面对挫折，威尔斯没有止步。他花了一年多的时间修改论文，纠正漏洞。此时，他已经“为伊拉克人民憔悴”了，但他“不会后悔自己的衣服变宽了”。1994年9月，他又写了一篇108页的论文，并发送到了美国。论文顺利通过了考试，《美国数学杂志》于1995年5月发表了他的论文。威尔斯因此获得了1995-1996年的沃尔夫数学奖。
经过300多年的不断斗争，数学家们围绕费马大定理取得了许多重要发现，促进了数学某些分支的发展，尤其是代数数论。现代代数数论中的核心概念“理想数”是为了解决费马大定理而提出的。难怪伟大的数学家希尔伯特称赞费马的最后一个定理为“会生金蛋的母鸡”。
注意:x 2代表x的平方。