我们知道，在实数范围内，我们无法解这个方程。只有把实数集扩展到复数集，我们才能解决它。对于复数a+bi (a和b都是实数)，当b=0时，它是实数；当b≠0时，称为虚数；当a=0，b≠0时，称为纯虚数。然而，在历史上引入虚数并将实数集扩展到复数集并不容易。那么，你是如何在历史上引入虚数的呢？
1545年，16世纪意大利米兰学者卡当(1501-1576)在他的著作《重要艺术》中发表了三次方程的通解，该书后来被称为“卡当公式”。他是第一个将负数的平方根写入公式的数学家，当讨论是否可以将10分成两部分并使它们的乘积等于40时，他给出了=40的答案。虽然他认为这两个表达是无意义的，虚构的和虚幻的，但他仍然把10分成两部分，并使它们的乘积等于40。法国数学家笛卡尔(1596-1650)给了“虚数”这个名字，他使“虚数”与《几何》(1637年出版)中的“实数”相对应。从那以后，虚数开始传播。
数系中一颗新星——虚数的发现，在数学领域引起了很大的混乱。许多伟大的数学家不承认虚数。德国数学家利布尼茨(1664-1716)在1702年说过:“虚数是灵魂逃离的微妙而奇怪的藏身之处。它们可能是存在和幻觉中的两栖动物。”瑞士数学大师欧拉(1707-1783)说:“所有的形式都像，学习数学武术是不可能的，想象一下数字，因为它们代表负数的平方根。至于这些数字，我们只能肯定，它们既不是虚无，也不大于虚无，也不小于虚无，它们纯粹是虚幻的。”然而，真正理性的东西肯定能经受住时间和空间的考验，并最终占据自己的位置。法国数学家达·兰伯(1717-1783)在1747年指出，如果虚数是按照多项式的四种运算规则运算的，那么结果总是以(A和B是实数)的形式出现(说明:目前的教科书中没有使用符号=-1，而是= 1)。法国数学家迪莫夫(1667-1754)在1730年发现了这个公式，这就是著名的坦莫夫定理。欧拉在1748年发现了一个著名的关系表达式，这是他第一次在他的文章“微分公式”(1777年)中用1表示1的平方根，并开创了用符号1作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，但它确实存在。挪威测量员塞塞尔(1745-1818)在1779年试图给这个虚数一个直观的几何解释，并首次发表了他的方法，但它没有得到学术界的注意。
德国数学家高斯(1777-1855)在1806年发表了虚数的图像表示，即所有实数都可以用数轴表示。同样，虚数也可以用平面上的点来表示。在直角坐标系中，对应于实数A的点A取在水平轴上，对应于实数B的点B取在垂直轴上，并且平行于坐标轴的直线穿过这两个点，它们的交点C表示复数A+Bi。像这样，点对应于复数的平面称为“复平面”，后来也称为“高斯平面”。1831年，高斯用实数数组(A，B)表示复数A+Bi，并建立了复数的一些运算，使得复数的一些运算像实数一样具有“代数性”。他在1832年第一次提出“复数”这个术语，并且还结合了两种在平面上表示同一点的不同方法——直角坐标法和极坐标法。它统一为两种形式的代数表达式和三角表达式，表示同一个复数，并把数轴上的点扩展为实数一一对应，把平面上的点扩展为复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的一个点，而且把它看作一个向量，并利用复数和向量之间的一一对应关系，阐述了复数的几何加法和乘法。在这一点上，复数理论是相对完整和系统地建立。
经过许多数学家长期不懈的努力，对复数理论进行了深入的探讨和发展，在数学领域徘徊了200年的虚数才揭开神秘的面纱，展现出它的本来面目。原来的虚数不是空的。虚数成为数字家族的一员，因此实数集合扩展为复数集合。
随着科学技术的进步，复数理论越来越显示出它的重要性。它不仅对数学本身的发展具有重要意义，而且对证明机翼升力基本定理也有重要作用。它显示了解决大坝渗流问题的能力，为大型水电站的建立提供了重要的理论依据。