代数方程理论研究

李锐对代数方程理论的兴趣源于对秦、等后期数学家的工作的整理和研究。但直接原因是王来在《恒斋算术》第五卷中对各种方程是否只有一个正根的讨论。在《王来后记》中，他把王来所获得的96条“知识”归纳为三个标准，其中第一个标准相当于系数序列的符号变化只有一个正根的方程，第三个标准相当于系数序列的符号变化有偶数个而没有一个正根的方程。它们与16世纪意大利数学家卡加诺提出的两个命题非常相似。

在《方剂学》中，李锐给出了一个更一般的说法:“每一个上负号和下正号可分为一个数”，“上负号、正负号和下负号可分为两个数”，“上负号、次正负号、次正负号和下正负号可分为四个数或两个数”；广义地说，他的意思相当于说:(实系数)一个数字方程的正根数等于或小于其系数符号序列的变化数(精确的表述应该是“少一个”)。这种理解几乎与法国数学家笛卡尔在1637年提出的判断方程正根数的符号规则相同。

《方凯说》除了判定方程正根数的规则外，还有许多其他重要的结果。例如，李锐首先介绍了负根和多重根的概念。他还称方程的非正解为“无数”，并声称“每一个无数都必须有两个，而没有无数”。虚拟根共轭有一个模糊的概念。李锐还讨论了二次方程和双二次方程在整数范围内无实根的判别条件，并创造了一种先求第一个根，再从变形方程中继续求其余位数和其它根的“替换法”。他还逐一解释和完善了最终单元计算书中包含的各种方程变形方法，如根加倍变形、根收缩变形、根缩小变形和根负变形。