算数学的妙招(推荐20篇)

小学二年级学生正是活泼好动，好奇心强烈的时候，使二年级学生对数学学习感兴趣，从而爱学数学具有重要作用。以下是由小编整理关于二年级数学知识点的内容，提供给大家参考和了解，希望大家喜欢!

二年级数学知识点1

1.表内除法的知识点：

(1)理解平均分的意义。会根据表内乘法，计算简单的除法。

(2)会用乘法口诀求商。

(3)根据乘除法的意义解决一些简单的乘除法应用题。

(4)被除数÷除数=商被除数÷商=除数除数×商=被除数

2.除法：是四则运算之一,已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。

3.除法的性质

一个数连续除以几个数，等于这个数除以那几个数的乘积，就是除法的性质。有时可以根据除法的性质来进行简便运算。如：300÷25÷4=300÷(25×4)

4.除法公式

(1)被除数÷除数=商

(2)被除数÷商=除数

(3)除数×商=被除数

5.被除数

除法运算中被另一个数所除的数,如24÷8=3,其中24是被除数

6.除数：在除法算式中，除号后面的数叫做除数。

例：8÷2=4则2为除数。8为被除数。除数不能为0，否则没有意义。

7.商：在一个除法算式里，被除数÷除数=商+余数，进而推导得出：商×除数+余数=被除数。

8.完全商

当数a除以数b(非0)能除得尽时，这时的商叫完全商。如:9÷3=3，3就是完全商。

9.不完全商

如果数a除以数b(非零)除不尽，得到的商就是不完全商。如：10÷3=3......1，这里的3就是不完全商。

10.被除数和商的关系

被除数扩大(缩小)n倍，商也相应的扩大(缩小)n倍。

除数扩大(缩小)n倍，商相应的缩小(扩大)n倍)。

11.2—6的乘法口诀

2×2=4

2×3=6 3×3=9

2×4=8 3×4=12 4×4=16

2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25

2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36

12.直角：几何原本中的定义：当一条直线和另一条横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。

一个直角等于90度，符号：Rt∠

13.几何中的锐角：大于0°小于90°(直角)的角。

两个锐角相加不一定大于直角，但一定小于平角。

14.钝角：钝角大于直角(90°)小于平角(180°)的角叫做钝角。

15.平移：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。平移可以不是水平的。

16.旋转：在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点Pˊ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

17.旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离相等。

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

(3)旋转前、后的图形全相等。

小学二年级数学知识点(含二年级数学上下册全部知识点)

18.旋转的三要素

(1)旋转中心;

(2)旋转方向;

(3)旋转角度。

注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样。

旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点换同一方向，转动同一个角度

19.表内除法的知识点：

(1)理解平均分的意义。会根据表内乘法，计算简单的除法。

(2)会用乘法口诀求商。

(3)根据乘除法的意义解决一些简单的乘除法应用题。

(4)被除数÷除数=商被除数÷商=除数除数×商=被除数

20.7、8、9的乘法口诀

7×7=49

7×8=5 68×8=64

7×9=63 8×9=72 9×9=81

21.万以内的数的认识

100=10个10(10个10相加的结果等于100)

1000=10个100(10个100相加的结果等于1000)

22.克

克为质量单位，符号 g，相等于千分之一千克。一克的重量大约相于一立方厘米水在室温的质量，大约有一个万字夹的质量。

1 吨 = 1,000,000 克 (一百万克)

1 公斤(1千克) = 1,000 克 (一千克)

1 市斤 = 500克 (1 克 = 0.002市斤)

1 毫克 = 0.001 克 (1克=1000毫克)

1 微克 = 0.000 001 克 (1克=1000000微克)

1 纳克 = 0.000 000 001 克(1克=1000000000纳克)

23.千克

千克：(符号kg或㎏)为国际单位制中量度质量的基本单位，千克也是日常生活中最常使用的基本单位之一。

看过“二年级数学知识点“

二年级数学知识点2

1.长度单位：是指丈量空间距离上的基本单元，是人类为了规范长度而制定的基本单位。其国际单位是“米”(符号“m”)，常用单位有毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、千米(km)等等。长度单位在各个领域都有重要的作用。

2.米：国际单位制中，长度的标准单位是“米”，用符号“m”表示。

3.分米：分米(dm)是长度的公制单位之一，1分米相当于1米的十分之一。

4.厘米：厘米,长度单位。简写(符号)为:cm。

有关厘米的单位转换: 1厘米=10毫米=0.1分米=0.01米=0.00001千米。

5.毫米：英文缩写MM(或mm、㎜)

进率关：1毫米=0.1厘米;

6.进位：加法运算中，每一数位上的数等于基数时向前一位数进一。

以个位向十位进位为例：基数为10(2进制的基数是2，类推)，个位这个数位上的数量达到了10的情况下，则个位向前一位进1，成为一个十。

在十进制的算法中，个位满十，在十位中加1;十位满十，在百位中加一。

7.不退位减：减法运算中不用向高位借位的减法运算。例：56-22=34。6能够减去2，所以不用向高位5借位。

8.退位减：减法运算中必须向高位借位的减法运算。例：51-22=39。

1不能够减去2，所以必须向高位的5借位。

9.连加：多个数字连续相加叫做连加。例如：28+24+23=85。

10.连减：多个数字连续相减叫做连减。例如：85-40-26=19。

11.加减混合：在运算中既有加法又有减法的运算。例如：67-25+28=70。

12.角：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

符号 ：∠

13.乘法算式中各数的名称：是指将相同的数加法起来的快捷方式。其运算结果称为积。

“×”是乘号，乘号前面和后面的数叫做因数，“=”是等于号，等于号后面的数叫做积。

10(因数) ×(乘号) 200(因数) =(等于号) 2000(积)

14.1—6的乘法口诀

1×1=1

1×2=2 2×2=4

1×3=3 2×3=6 3×3=9

1×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=16

1×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25

1×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36

15.7——9的乘法口诀

1×7=7 2×7=14 3×7=21 4×7=28 5×7=35 6×7=42 7×7=49

1×8=8 2×8=16 3×8=24 4×8=32 5×8=40 6×8=48 7×8=56 8×8=64

1×9=9 2×9=18 3×9=27 4×9=36 5×9=45 6×9=54 7×9=63 8×9=72 9×9=81

扩展资料

1.角的动态定义

一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边

2.角的种类

角的大小与边的长短没有关系;角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。在动态定义中，取决于旋转的方向与角度。角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种。以度、分、秒为单位的角的度量制称为角度制。此外，还有密位制、弧度制等。

锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。

直角：等于90°的角叫做直角。

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。

正角：逆时针旋转的角为正角。

0角：等于零度的角。

余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。等角的余角相等，等角的补角相等。

对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。两条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等。

还有许多种角的关系，如内错角,同位角，同旁内角(三线八角中，主要用来判断平行)。

3.乘法的运算定律

整数的乘法运算满足：交换律，结合律，分配律，消去律。

随着数学的发展，运算的对象从整数发展为更一般群。

乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c

把球交给铁蛋的女孩回答了老人的问题:`如果铁蛋回答了"你不会吃我"，怪物会一口吃掉铁蛋。怪物会说，“看，答案是错误的！”你回答说你不会被吃掉，但我会的。"

时间之鹰带着铁蛋向东南方向飞去。下面的一个大金字塔吸引了铁蛋。铁蛋喊道:“当我到达古埃及时，我会去看看金字塔。

铁蛋在金字塔周围盘旋，找不到入口。他对自己说:“这个入口在哪里？

突然，金字塔前面的狮身人面像说话了。他说:“进入金字塔是一件非常危险的事情。只有出色的数学和足够的勇气，我们才能克服困难。”

蒂丹坚定地说:“我懂数学，有勇气！

好吧。你俯身。狮身人面像低声说出了打开铁蛋门的咒语。铁蛋念了咒语，金字塔底部的一扇小门打开了。

铁蛋刚走进来，只听到“轰”的一声，门又关上了，里面一片漆黑。铁蛋向前摸索着，转了一个弯，看见了一点灯光，他定睛一看，那是一盏油灯，油灯旁边坐着一个穿着黑色长袍的老妇人。

啊，鬼魂！铁蛋转身害怕地跑开了。

停下。老妇人说，“门是关着的，你要去哪里？”你的勇气在哪里？“你的决心呢？”

蒂丹也称自己毫无价值。他平静地问:“你是什么？

老妇人很不开心。她说:“我是什么？你真的不能说话！我是金字塔的守护神。"

铁蛋问:你能让我出去吗？

是的，但是首先你必须为我计算一个数字。这个数字我已经计算了1000多年，我也没有计算过。老妇人拿着油灯走到一堵墙前。当铁蛋看到墙上的图形时，它问:这是什么？“有鸭子和老虎吗？”

老妇人说:“这是一个古埃及象形文字。我读了你写的内容:最左边的三个符号代表未知数和乘法，第四个符号代表2/3，小鸭代表一个加号...

铁蛋按照老太太说的，列出一个方程式:

x(2/3 + 1/2 + 1/7 +1)=37

铁蛋解决了x ≈ 1554/97。

老妇人问:“是这样吗？顺便说一下，你可以出去。错了，你会留下来和我一起守卫金字塔！

请快点检查铁蛋！看看他是否理解正确？

提丹在古巴的巴比伦城被10个兄弟包围了，他不得不分离100两银子或者打他。

蒂丹擅长数学，不怕他们的威胁。蒂丹说:“我以旧十岁为基数，把两兄弟之间的差别定为一岁。因此，大哥十多岁，二哥十多岁，八哥八岁以上。”...老九十多岁了。

老板不耐烦了，他说:“我要你算出每个人能得到多少钱。你为什么说这么多a？

别担心！蒂丹说，“根据我的分析，应该有这样的关系。”他写道:老大和老十得到银子=第二个，老九得到银子=第三个，老八得到银子=老四和老七得到银子，老五和老六得到银子= 100/5 = 20(两个)。

蒂丹补充道:“众所周知，老八得到6两银子，既然老三和老八总共得到20两，老三得到20-6 = 14两。然而，老三比老八多得5个A，老三比老八多得14-6 = 8两，所以，A = 8 ÷ 5 = 1.6两。寻找A是万能的。

铁丹写道:老8.6梁，老7.6+1.6 = 7.6梁，6-1.6 = 4.4梁，然后给自己的兄弟10个，从老大开始，一个名单:

17.2、15.6、14、12.4、10.8、9.2、7.6、6、4.4、2.8

分享了100两银子后，这10个兄弟都满意地笑了。为了奖励铁蛋，他们给了他一张票去听这位伟大数学家的演讲。

铁蛋走进一个挤满了人的大房间。一个又矮又胖的数学家站在讲台上发表演讲:“你知道吗？一个圆角等于360度，每次60分钟，每次60秒，这是我们巴比伦人的规定，是我们巴比伦人的骄傲！

听完之后，蒂丹问数学家:“请问，为什么你规定一个圆角等于360度？

“你很好地提出了这个问题，”数学家解释道，“因为太阳一直在绕着地球转。”

“嗯？太阳绕着地球转？铁蛋冻住了。

数学家补充道:“太阳每年绕地球一周，一年有360天。

“嗯？一年有360天？铁蛋又冻住了。

数学家们说:“我们把太阳一天中的旋转中心角设定为1度角。

“不，不，你说的有问题。蒂丹站起来喊道。

数学故事——三个女孩的家

今天，有三个女孩，最大的女孩将在5号回来，中间的女孩在4号，年轻的女孩在3号。这三个女孩什么时候见面？这个问题也是为了计算古代名著《孙子兵法》中的最小公倍数。这意味着这个家庭有三个结婚的女儿。大女儿每五天回娘家一次，二女儿每四天回娘家一次，小女儿每三天回娘家一次。这三个女儿在同一天离开父母的家之后，至少还要再见面几天？

想想看:从第一次见面到最近一次见面的天数是三个女儿每隔一段时间回家的天数的最小公倍数。

解答:3，4，5的最小公倍数:

3×4×5=60

答:这三个女儿将至少相隔60天再次见面。

二、统计概率的本质

（二）概率

概率研究的是随机现象。随机现象实际就是在相同条件下，可以做大量地重复实验，其结果不确定，但是在大量实验中呈现出一种规律性，我想这三点是随机现象的根本特点。所以不用去给概率下定义，概率的定义也不在我们讨论的范围，但是有几个要界定清楚的问题，比如说结果是在实验之前无法确定的，一些老师如果把握不好，就会把一些在实验之前结果就完全确定的现象当做随机现象来处理。例如，火星上有没有生命，这是完全确定的，要么就有，要么就没有，只是我们不知道，这是未知现象，必须跟随机现象区分开来。

数学童话——狐狸卖鸡蛋

西瓜卖不出去，跛脚狐狸却在卖鸡蛋。

跛足的狐狸守护着许多盒子的鸡蛋，并喊道:“卖鸡蛋！新鲜鸡蛋！买得更便宜！”

突然，传来一声低沉的哭声。跛足的狐狸往里看，看见一只大公鸡抱着一只哭泣的母鸡向这边走来。

狐狸急忙打招呼:“请买些新鲜鸡蛋！”

听到“新鲜鸡蛋”这个词，母鸡大哭起来。母鸡的叫声把跛足的狐狸弄糊涂了。

狐狸看上去不高兴。他说:“今天是我第一次卖鸡蛋。你在我的货摊前哭吵闹闹，真倒霉！”

达公基连忙解释道，“我妻子几天前下了一窝蛋。她不小心被小偷偷走了。她非常难过。”

听到“偷窃”这个词，狐狸大吃一惊。他很快解释道:“人们常说狐狸偷鸡，但没人说狐狸偷鸡蛋。我买了鸡蛋，不是你！”

那只瘸腿的狐狸眼珠一转，立刻变了脸。他对着母鸡笑了笑，说道:“别哭！你丢了鸡蛋，是吗？我这里有很多鸡蛋。买一些回去孵化，以确保你有一个完整的家庭。”

听到狐狸说的话，母鸡立刻大哭起来，笑了。她立刻买了10个蛋，回到她的窝里快乐地孵蛋。

就在母鸡离开的时候，狐狸“噗噗”地笑着说，“我从养鸡场买了所有的鸡蛋。这个养鸡场里没有公鸡。这个蛋根本不能孵小鸡！”

母鸡一连好几天都回去孵蛋，蛋甚至都不动。几天后，鸡蛋开始发臭，母鸡知道自己被狐狸骗了。公鸡和母鸡报复狐狸！

狐狸拒绝承认，但是公鸡和母鸡没有离开。狐狸的眉头皱了起来，他的计谋出现了。狐狸说，“我们开始吧！我愿意给你这1000个鸡蛋作为补偿。只有一个条件。”

公鸡问:“什么条件？”

狐狸说:“你必须把这1000个鸡蛋拿走五次。每次取的鸡蛋数量是8个。”“8”更吉利，“8”是“头发”发财！"

公鸡和母鸡，如果你看着我，我看着你，没有人会数。突然，“哔”的一声，一个小纸球从树上掉了下来。一只猴子从树上消失了。

公鸡拿起纸团，立即大叫一声，对狐狸说:“先给我八个蛋。”狐狸照办了。“你再给我88个鸡蛋。”狐狸照办了。"你给了我888个鸡蛋多少次了？"

狐狸说:“三次！”

母鸡走过来说:“只剩下两只了。轮到我了！”你给我八个鸡蛋，再给我八个。"

狐狸的眼睛都是红色的。他列出了一个加法公式:8+88+888+8+8=1000。狐狸大叫一声，瘫倒在地上。

获得博士学位的德国数学家爱米·诺德不具备开始这门课程的“资格”，因为她需要在教授讨论是否授予她讲师资格之前再写一篇论文。

当时，著名数学家希尔伯特非常钦佩艾米的才华。他四处寻求批准她成为哥廷根大学的第一位女讲师，但在教授会议上仍有争论。

一位教授兴奋地说，“女人怎么能当讲师呢？如果她被允许成为一名讲师，她将成为一名教授，甚至进入大学理事会。可以允许妇女进入大学的最高学术机构吗？”

另一位教授说:“当我们的士兵从战场返回课堂，发现自己拜倒在女性的脚下学习时，他们会有什么感觉？”

希尔伯特站起来坚决反驳道:“先生们，候选人的性别绝不应该成为反对她成为讲师的理由。毕竟，大学理事会不是一个游泳馆！”

学习目标

1．掌握有理数的减法法则．

2．熟练地进行有理数的减法运算．

3．了解加与减两种运算的对立统一关系，掌握数学学习中转化的思想.

知识重点

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的________，即a－b＝a＋(－b)．

精典范例

知识点一 有理数减法法则

例1 下列运算正确的是( )

A．(－3)－(＋5)＝(＋5)－(－3)＝＋2

B．(＋3)－(－5)＝(＋3)＋(＋5)＝＋8

C．(－3)－(－5)＝(－3)＋(＋5)＝－2

D．(－3)－(＋5)＝(－3)＋(－5)＝－2

例2 (1)(教材P23练习第1题节选)计算：

①(＋4)－(－7)；②(－5)－(－8)；③0－(－5).

(2)(教材P25习题1.3第4题节选)计算：

①2(1)－3(1)；②(－2)－3(2)；

③4(3)－4(1)－2(1).

知识点二 有理数减法法则的实际应用

例3 某矿井下A，B，C三处的海拔分别为－32.5米，－120.7米，－63.8米.

(1)B处比C处高多少米？

(2)A处比C处高多少米？

变式练习

变式1 计算：

(1)0－2＝0＋________＝________；

(2)7－9＝7＋________＝________；

(3)3－(－3)＝3＋________＝________；

(4)－7－9＝－7＋________＝________．

变式2 (1)(2019·台湾)算式－3(5)－(－6(1))之值为何？( )

A．－2(3)B．－3(4)

C．－6(11)D．－9(4)

(2)(2018·山东淄博)计算2(1)－2(1)的结果是( )

A．0B．1

C．－1D．4(1)

(3)计算：－5－(－3)－(－4)－[－(－2)]．

变式3 某同学在计算时－38(7)－N，误将－N看成了＋N，从而算得结果是54(3)，请你帮助算出正确结果.

巩固练习

1．(2019·河池)计算3－4，结果是( )

A．－1B．－7

C．1D．7

2．(2019·遵义)遵义市2019年6月1日的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义市这一天的最高气温比最低气温高( )

A．25℃B．15℃

C．10℃D．－10℃

3．下列说法正确的是( )

A．0减去一个数，仍得这个数

B．负数减去负数，结果是负数

C．正数减去负数，结果是正数

D．被减数一定大于差

4．有下列计算：①(－4)－|－4|＝0；②4(1)－2(1)＝－2(1)；③0－(＋5)＝－5；④(－5)－(－4)＝－1.其中正确的有( )

A．1个B．2个

C．3个D．4个

5．(2019·玉林)计算：(－6)－(＋4)＝________．

6．(2018·四川南充)某地某天的最高气温是6℃，最低气温是－4℃，则该地当天的温差为________℃.

7．计算：

(1)(－61)－(－71)－|－8|－(－2)；

(2)(－20)－(＋3)－(－5)－(＋7)；

(3)0－(＋3)－(－5)－(－7)－(－3)；

(4)(＋20)－(－10)－(－12)－(＋5)－(＋26)．

8．下列结论错误的是( )

A．若a＞0，b＜0，则a－b＞0

B．a＜b，b＞0，则a－b＜0

C．若a＜0，b＜0，则a－(－b)＜0

D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a－b＞0

9．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图，则计算|a－b|的结果为( )

A．a＋bB．a－b

C．b－aD．－a－b

10．若数轴上A，B两点表示的有理数分别是－62(1)和74(3)，则A，B两点之间的距离为________．

11．已知a，b互为相反数，且|a－b|＝6，求b－1的值．

12．已知|m|＝37，|n|＝31，且|m＋n|＝－(m＋n)，求m－n的值．

数学故事——独特的治疗方法

艾娃小姐是一位出色的美人。难怪马丁先生被她感动了。

这位年轻女士生性害羞。如果她被直接邀请去吃饭，她可能会被拒绝。对此，马丁绞尽脑汁，思考对策。突然，他心血来潮，想起了哈佛数学家吉尔贝·贝克教给他的绝妙主意，心花怒放，眉开眼笑。

“亲爱的，我有两个问题要问你，他们只能回答“是”或“不是”，不允许有其他句子。不过，在正式提问之前，我想先和你谈谈。在严肃回答之前，你必须仔细听。这两个问题的答案必须完全符合逻辑，不能相互矛盾。”他对艾娃说。

艾娃皱了皱眉头，觉得很有趣，于是她以一种明朗的方式对马丁先生说:“好吧！那么请提问！”马丁先生如何提问来实现邀请伊娃小姐共进晚餐的目标？

1651年夏天，法国数学家和物理学家布莱斯·帕斯卡(1623-1662)在去普吉特镇的路上碰巧遇到了一个名叫米尔的贵族，他是一个很好的赌场玩家。为了消除旅途中的孤独，他和帕斯卡谈论了他在赌博中遇到的问题，这是一个非常有趣的“分注”问题。

梅雷说，有一次，他和他的赌徒在每一卷上赌32枚金币。双方同意，如果梅雷先掷6分三次或双方先掷4分三次，他们将赢得对方。结果，当梅雷两次投出6分，而赌徒一次投出4分时，梅雷因为某种原因不得不停止赌博。剩下的问题是如何在两者之间分配64枚金币。他们在这个问题上有争议。赌博的朋友说他会在4点钟见面两次，或者梅丽尔会在6点钟再次获胜，所以他有权得到梅丽尔的一半，即梅丽尔64枚金币的2/3和64枚金币的1/3。梅雷认为，即使游戏者下一次掷出4分，他仍然可以得到1/2，即32枚金币，而且他仍然希望下一次得到16枚金币，所以他应该得到64枚金币中的3/4，而游戏者只能得到64枚金币中的1/4。谁是对的？

梅雷提出的“分配赌注”的问题困扰着天才数学家帕斯卡。他苦苦思索，但毫无结果。直到1654年，花了两三年的时间才想出一些主意。所以他写了一封信给他的好朋友皮埃尔·费马(1601-1665)来讨论这个问题。两人达成一致:他们认为梅雷的分配方法是正确的，他应得64枚金币中的3/4，赌徒应得64枚金币中的1/4。当时，荷兰数学家惠更斯听到这个消息后也参加了他们的讨论。惠更斯把讨论的结果写成了一本名为《论赌博中的计算》(1657)的书，这是最早的一本关于概率论的书。

法国著名数学家皮埃尔·蒙德·拉普拉斯(1749-1827)是一位非常尊重事实的科学家。拉普拉斯在他1814年出版的《概率哲学》一书中研究了生男孩和女孩的概率。一般人可能认为生男孩和生女孩的可能性相等，各占50%。事实并非如此。根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计数据，拉普拉斯获得了几乎相同的男性出生与女性出生的比率:在10年里，它总是在51.2:48.8左右波动。这意味着，男婴的数量通常略高于女婴。国内外大量的人口统计数据表明，男女出生比例为51.2:48.8，中国几次人口普查数据中的男女出生比例也大致相同，1953年为51.2:48.8；1964年是51.3:48.7。这个事实表明，在大量随机现象的背后有一个不可避免的规律。由“频率稳定性”导出的“大数定律”已成为整个概率论的基础。

概率论发表后不久就在应用中发挥了重要作用。疫苗接种在欧洲大规模接种后由于副作用引起争议。这时，丹尼尔·伯努利(daniel bernoulli，1700-1782)，雅库布·伯努利的侄子，根据大量的统计数据，得出了接种疫苗可以延长人类平均寿命3年的结论，消除了一些人的恐惧和疑虑。

小学数学的故事:黎曼假设，世界七大数学问题

世界上的七个数学问题，像美丽的风景一样，吸引着来自世界各地的数学家的注意。世界上七个主要的数学问题是NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、扬·米尔斯理论、纳维尔-斯托克方程和BSD猜想，所有这些问题都将得到一百万美元的奖励。今天我们将介绍黎曼假设。

世界上的七个数学问题:黎曼假设

1.黎曼假设导论

有些数字具有特殊的性质，不能用两个较小数字的乘积来表示，例如2、3、5、7等。这种数字被称为质数；它们在纯数学及其应用中起着重要作用。在

在所有的自然数中，素数的分布不遵循任何规律。然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到素数的出现频率与精心构造的所谓李密切相关

ζ函数ζ的行为。著名的黎曼假设断言方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。前150万人已经是这样了

解决方案已经过验证。证明它适用于每一个有意义的解，将会揭示围绕素数分布的许多秘密。

2.李假说的背景

黎曼猜想是数学家黎曼在1859年提出的关于黎曼ζ函数ζ(s)的零分布的猜想。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出，数学家应该在20世纪勤奋工作。

武力解决的23个数学问题被认为是20世纪数学的制高点，包括黎曼假设。黎曼猜想也包括在粘土数学研究所提供的世界七个数学问题中。

3.黎曼猜想的描述

与历经三个半世纪后才得以解决的费马猜想和延续了两个半世纪的哥德巴赫猜想相比，黎曼猜想的记录只有一个半世纪，远非令人满意。然而，这是数学上的

其重要性远远超过了公众意识更高的这两种猜测。黎曼猜想是当今数学领域最重要的数学问题。目前，有消息称，尼日利亚教授奥皮耶米·伊诺克

成功地解决了黎曼猜想。然而，克莱数学研究所既没有证实也没有否认伊诺克博士正式解决了这个问题。

在历史上，关于黎曼猜想被证明的闹剧经常上演。尼日利亚教授最近证明的所谓黎曼猜想并没有表明克莱数学研究所承认并颁发了奖金。目前，粘土数学研究所的官方网站还没有发表任何声明，而学术界的专业评价往往是负面的。

4.黎曼猜想的解析

据英国《每日邮报》11月17日报道，尼日利亚教授欧佩耶米·伊诺克最近

伊诺克)成功地解决了156年的数学难题——黎曼猜想，并赢得了100万美元的奖金。德国数学家黎曼的黎曼猜想

伯纳德于1859年提出，它涉及素数的分布，被认为是世界上最困难的数学问题之一。2000年，克雷数学研究所(克雷

数学研究所)将黎曼猜想列为七千年数学问题之一。

自从费马大定理在20世纪90年代被解决以来，黎曼问题已经成为数学中最著名和最有争议的问题。这个问题最简单的部分是所有质数的分布都不遵循

法律。伊诺克博士在尼日利亚一所大学任教。他说，他在2010年取得了重大突破，为以后解决这个千年问题奠定了基础。他说他决定解决这个问题的原因

一个著名的数学问题不是为了奖金，而是为了自己的学生。正是因为学生们相信自己，他开始尝试解决这道数学题。

然而，克莱数学研究所既没有证实也没有否认伊诺克博士正式解决了这个问题，只是简单地说它不会对这些千年数学问题的解决方案发表评论。

事实上，虽然因子数是分布的，但这是一个错误，因为伪素数和素数的一般公式告诉我们，素数和伪素数是由它们的变量集决定的。

分数的加减法

1、一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备。

2、通分的依据：分式的基本性质。

3、通分的关键：确定几个分式的公分母。通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

4、类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

5、同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

6、异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

7、同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号。

8、对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分。

9、异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化。

10、作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式。

二、填空题

3（2014.泸州第12题）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）

【解答】：解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是（3，a），

∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3，

∴D点坐标为（3，3），

∴CD=3，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴△PED也为等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，

∴AE=BE=AB=×4=2，

在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE=，

∴PD=PE=，

∴a=3+．

【点评】：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．

数学故事——小高斯的故事

孩子们，你们知道数学天才高斯小时候的故事吗？

高斯在小学的时候，有一次在老师教加法之后，因为老师想休息一下，他想出了一个让学生计算和看的题目。主题是:

1+2+3+.....+97+98+99+100=？

老师在想，现在孩子们必须被算到班级里了！正要出去，却被高斯拦住了！！原来高斯已经计算过了。你知道他是怎么计算的吗，小朋友？

高斯告诉每个人他是如何计算的:把1加到100，把100加到1，排成两行，也就是说:

1+2+3+4+.....+96+97+98+99+100

100+99+98+97+96+.....+4+3+2+1

=101+101+101+.....+101+101+101+101

总共100加101，但公式重复两次，所以10100除以2得到的答案等于

从那时起，高斯小学的学习过程已经超过了其他学生，从而奠定了他未来的数学基础，使他成为数学天才。

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有"，"分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标

点的坐标：设点P是坐标平面内的任一点，由点P向轴作垂线，垂足对应着轴上的一个实数；由点P向轴作垂线，垂足对应着轴上一个实数，则点P的坐标就是()，其中叫点P的横坐标，叫做点P的纵坐标．

说明：点的坐标的定义实际上给出了求点的坐标的一种非常重要的方法，要注意横坐标与纵坐标的顺序不能颠倒．

3、不同位置的点的坐标的特征

﹝1﹞、各象限内点的坐标的特征

点P(x，y)在第一象限

点P(x，y)在第二象限

点P(x，y)在第三象限

点P(x，y)在第四象限

﹝2﹞、坐标轴上的点的特征

点P(x，y)在x轴上，x为任意实数

点P(x，y)在y轴上，y为任意实数

点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）

﹝3﹞、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x，y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等

点P(x，y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数

﹝4﹞、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

﹝5﹞、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点关于x轴的对称点是．

点关于y轴的对称点是．

点关于原点的对称点是．

﹝6﹞、点到坐标轴及原点的距离

点P(x，y)到坐标轴及原点的距离：

点P(x，y)到x轴的距离等于

点P(x，y)到y轴的距离等于

点P(x，y)到原点的距离等于

☆．﹝7﹞(1)若PQ∥x轴，则．

．(2)若PQ∥y轴，则．

☆﹝8﹞．若，，当是线段AB的中点时

*﹝9﹞.若，，则

﹝10﹞．坐标平面内的点和有序实数对(x，y)之间建立了一一对应关系．

数学故事——阿基米德和国王的故事

古希腊的阿基米德不仅是一位杰出的科学家，也是一位好老师。他死前培训了许多学生。在这些学生中有一个特殊的角色，他就是希腊国王多鲁米。

无所事事的多萝西突然觉得有一天想学点什么。那时，阿基米德已经是一位非常著名的科学家了。多萝西想了一会儿，决定邀请阿基米德作为老师来学习几何。

当阿基米德被国王召见时，他不敢怠慢，急忙赶到皇宫。这里金碧辉煌，气势优雅。白色大理石制成的透明地板、水晶珍珠吊灯和雕有龙和虎的巨大柱子使整个宫殿非常豪华和美丽。阿基米德欣赏着宫殿里的装饰，心里想，许多科学家和劳动人民的智慧和辛勤劳动，尤其是那些精巧独特的设计，反映了建设者们在数学，尤其是几何方面的高度造诣。

从此，阿基米德成了国王的私人数学老师。几何课开始时，国王非常认真，似乎决心学好这门课。然而，随着时间的推移，多萝西的兴趣逐渐下降。虽然阿基米德的几何教学非常简单，但对于一个不喜欢学习的国王来说，上课的时间只是一年多，他越来越不耐烦了。

阿基米德看到了国王心情的变化，并记在心里。他一如既往地认真讲课。他仔细而耐心地向多萝西解释各种几何图形、原理和计算方法。然而，多萝西对出现在她眼前的三角形、正方形和菱形图案不感兴趣，有点困了。阿基米德来到多萝西身边，用手推了推他。国王不情愿地睁开睡眼惺忪的眼睛，但阿基米德还没来得及说话，他就问道:“请问，有没有比你学几何更简单的方法？用你的方法学习真的太难了。”

听到国王的问题，阿基米德沉思了一下，平静地回答道:“陛下，乡下有两条路。一条是普通人的乡村道路，另一条是皇家贵族的宽阔平坦的道路。陛下走哪条路？”

“当然是皇家大道！”多洛米回答得很简单，但他感到困惑。

阿基米德继续说，“是的，你当然要成为国王，但那是因为你是国王。但是现在，你是一名学生。

你知道，在几何学中，无论国王还是人民，无论老师还是学生，每个人都只能走同一条路。因为学习没有平坦的道路。”多萝西国王眨着眼睛，模糊地思索着。他终于明白了阿基米德话的意思，所以他恢复了精神，听阿基米德继续他的演讲。这个故事暗示了一个事实:追求科学知识没有捷径可走。科学知识对每个人都是平等的。正如伟大的革命导师马克思所说:“在科学的道路上没有平坦的道路可走。只有那些不怕在崎岖的道路上艰难攀登的人，才有希望到达光辉的顶峰。”

圆及有关概念

1到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆(circle).这个定点叫做圆的圆心。

2连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径(radius)。

3通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径(diameter)。

4连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord).最长的弦是直径。

5圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc).大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧

6由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形(sector)。

7由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

8顶点在圆心上的角叫做圆心角(centralangle)。

9顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

10圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个超越数，通常用π表示，π=3.1415926535……。在实际应用中，一般取π≈3.14。

11圆周角等于弧所对的圆心角的一半。

字母表示

圆—⊙;半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母);弧—⌒;直径—d;

扇形弧长—L;周长—C;面积—S。

圆的表示方法要求很严格，需要用到相应的知识要求。

概述

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

中考数学考前辅导：同类项及其合并

合并同类项就是逆用乘法分配律

为什么合并同类项时，要把各项的系数相加而字母和字母的指数都不改变，这有什么理论依据吗？

其实，合并同类项法则是有其理论依据的。它所依据的就是大家早已熟知了的乘法分配律，a(b+c)=ab+ac。合并同类项实际上就是乘法分配律的逆向运用。即将同类项中的每一项都看成两个因数的积，由于各项中都含有相同的字母并且它们的指数也分别相同，故同类项中的每项都含有相同的因数。合并时将分配律逆向运用，用相同的那个因数去乘以各项中另一个因数的代数和。

把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。

如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。如2ab与-3ab，m2n与m2n都是同类项。特别地，所有的常数项也都是同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并(或合并同类项)。同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

条件：①字母相同；②相同字母的指数相同

合并依据：乘法分配律

某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？为什么？

解：方案一：获利140×4500=630000（元）

方案二：获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）

方案三：设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨

依题意得=15解得x=60

获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）

因为第三种获利最多，所以应选择方案三。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。