点兵场上的神算术是谁（经典20篇）

小学数学的故事:部队秩序领域中的神圣算术

韩信是汉初特等奖获得者，擅长带兵。传说有一天，在一个部门的陪同下，他检阅了士兵们的操练。当所有士兵排成三列时，韩信问道:“最后一排还剩多少人？”外交部将报告:“两个人留在队伍的最后。”当队伍排成五车道纵队时，韩信问道:“最后一排还有多少人？”回答:“还有3个人。”最后，韩信又下达了组建一个七车道纵队的命令，得知队伍的最后还有两个人。

阵法已毕，韩问曰:“今日有多少兵来？”该部将回答，“今天应该有2345人在战场上。”韩信想了一会儿，说道，“不！球场上只有2333名球员，比你说的少了12名。”外交部半信半疑，下令重新清点队伍。结果是2333人，其中一人还不错，并吃了一惊。当国防部问韩信他是如何得到确切数字的，韩信笑着说，“我是根据你刚才报告的其余信息计算出来的。”

以上是著名的“韩信点兵”故事。这个故事的情节无疑是后人杜撰的，但军事领域的神圣算术包含着深刻的科学真理。它起源于中国古代书籍《孙子舒静》，一本公元二世纪的计算书。

《孙子兵法》中有一个问题:有一个数，余数是二除以三，余数是三除以五，余数是二除以七。现在，这个数字是多少？在几千年的漫长历史中，由于趣味与难度的结合，产生了许多神秘的名字，如“鬼谷心算”、“神奇妙算”、“简易管理技术”、“秦王密兵”、“大秋艳一书”。除了最后一个，这些不能被检查的名字与问题本身完全无关。

《孙子兵法》在这个问题上给出了以下答案:5和7相乘，然后乘以2得到70，余数除以3得到1；将3和7相乘得到21，将余数除以5得到1。将3和5相乘得到15，将余数除以7得到1。然后将余数2和70除以3得到140；将余数3和21除以5得到63；用7除得到的余数2和15，得到30。把上面的140，63，30加起来就是233。因为3×5×7=105，233减去两次105得到23。当它除以3，5，7时，余数不会改变。因此，23是“一无所知”问题的最简单的答案。

上述算法可归纳为两个等式:

70×2+21×3+15×2=233

233-105×2=23

公元1593年，明代数学家程大伟在他的著作《算法的统一》中把《孙子兵法》中的方法总结为一首美妙的诗:

“三人用七十枝名贵，五枝梅花二十一枝；

七个孩子的团聚花了半个月的时间，除了105个孩子，其他人都知道了。"

学龄前的幼儿是能够学会一点简单的算术的。通过学习，也能促使幼儿感知觉敏锐，注意稳定，观察细致、准确；从不随意的机械的死记硬背，发展成为有意的理解的记忆；使他们的抽象思维和逻辑思维得到初步的发展，为将来学习科学技术打下初步基础。

幼儿园正确教算术方法

右手代表个位数，左手代表十位数，下面介绍具体方法：将10以内数分解成两个部分，并将这两个部分合起来成一个数。在这基础上能正确、迅速地计算10以内数的加减、连加、连减和自编求和、求剩余的应用题。

实践证明，只有让幼儿多看，多想，多实践，才能增强幼儿学算术的兴趣，调动学习积极性，能将学到的计算知识运用到实际中去，为将来进一步学习科学技术打下初步的基础。

计算机系统使用的都是二进制系统，因此如果从事IT行业，是必须要学习二进制的。今天皇菠萝小编就和大家说说二进制如何进行算术运算！

操作方法

二进制和十进制运算方法基本相同，只不过是十进制满十进一，而二进制满二进一。在二进制里数字只有0和1。

下图是小编计算的二进制加减法，希望能帮助你们理解二进制的计算规则。加法运算是按照逢二进一进行计算，减法运算按照低位不足，高位减一，低位加二计算。

二进制乘除法也是相同的道理，所以想要学习二进制的小伙伴不要让认为有什么难度！

但是很多时候参加计算机专业考试他们并不会考简单的二进制计算，而是考二进制与十进制之间的转换，所以小编认为学习二进制运算的同时也要学习一下二进制与十进制之间的转换！

算术平方根实际是平方根的绝对值，平方根是满足所有例如x的平方＝a的x，而算术平方根只取正值。

因为按当时的权威解释，也就是毕达哥拉斯学派的学说万物皆数，也就是说世界上所有的事物都可以用数来表示。算术平方根是指一个正数的正的平方根，负数没有算术平方根。

所以说数字的世界时很奇妙的，一数只差答案也截然不同，就像算数平方根只能是正数的正平方根，负数则没有，由此观之数字的世界还有许多值得我们去学习的，大家要加油哦。

操作方法

准备一盒数字饼干。可以和自己的孩子一边玩耍一边教他数字怎么读，若是有了一定的基础，可以增加难度，用饼干拼出简单的数学题，让他计算，若是回答正确可以奖励饼干吃。这个方法寓乐寓教，容易引起孩子的注意力。

画本。现在市场上有很多这种类似的产品，你可以着重选择一下，选择图画丰富的，数字清晰的，也可以选择涂色版本的，父母可以带领孩子一起边玩耍边学习，也可以增进孩子的学习兴趣。

糖果和花生。这些东西的数量比较多，很容易准备，可以让孩子分清数量的多与少，也可以学习1—100的数字。

买东西。用零用钱去买一些东西，让孩子帮你计算，多多的实践，“实践是检验真理的唯一标准”，通过实践，孩子可以把学到的知识运用到实践上来，这样可以调动孩子学习的积极性，增强了孩子学习算术的兴趣。

认识图形。可以借助生活中的一些常见的事物，例如书本是长方形，茶杯口是圆形等等，把知识运用在实际生活中，看到符合条件的东西就可以教，孩子在平时的玩耍中就能学到新知识。

想要用excel生成随机的算术题，可以运用randbetween函数。这个函数的意思是生成随机数字，如我们想生成一到一百的任意数字，就只要输入“=randbetween（1,100）”就可以了，那么我们想要生成的是随机算术题，就可以理解为是两个随机的数，运用简单的加减乘除运算。

所以，如果想生成两个随机数的加法运算，就可以在单元格内输入=randbetween（1,100）&“+”&randbetween（1,100）&“=”。其中，randbetween（1,100）表示随机生成一个一到一百的数值，而&表示连接，加号表示加法运算，而randbetween（1,100）也是表示随机生成一个一到一百的数，最后的等号表示在结尾处显示一个等号，同样要加上英文双引号，合起来的意思就是，随机取两个一到一百的数相加。

如果想要变换成别的简单运算，只需要把加号替换成别的运算符号即可。

现在在幼儿园已经开始学习简单的算术题，同时也在学习珠心算，一旦掌握了方法，慢慢的就比较得心应手，每次算的也比较快。

工具/材料

笔 草稿纸

操作方法

刚开始接触算术题我们就从十以内的加减算起，比如2+3=？5+4=？这些刚开始都是可以让孩子扳手指算的

慢慢的可以延伸到十以上的加减法，首先让孩子背会这组数字，找好朋友，1和9是好朋友，2和8 ，3和7 ，4和6,5和5，这五组是互为好朋友。

下面我们就来做十以上的加减，例如8+9=?,都是一位数字，需要进位的算术题，首先想到满十需要进一位，就给十位数先进一，个位数字怎么算呢，先让小朋友找出9的好朋友，答案是1，十位数进了一，那么个位数就减，8减去9的好朋友1等于多少，小朋友立马就会算出8-1=7，答案就出来了是17。

上面我们说的是需要进位的加法，接着我们讲需要退位的减法，例如20-7=？，首先看从个位开始减，0-7不够减，需要从十位上借一，那么个位数字就需要把7的好朋友3还给0,0+3=？小朋友会立马回答是3,个位就是3，十位上2借走了一个就是1，答案就是13

针对不需要进位退位的加减就更简单了，只需要做到个位减个位，十位减十位即可，一定要从个位算起

孩子的观察力没有大人那么好，不是一下就能很直观的的出答案，为了便于观察，更加明了算出题目，可以让孩子学会列纵向算式，如图88-49=?,可以列出如图纵向算式，十位对十位，个位对个位，一目了然，按照之前教的方法很快就能算出答案

特别提示

孩子处于学习能力最快的时候，但不要操之过急，要注重引导

这是种假相，实际上，是演员在做算术，只是他指挥(他的动作只有小狗知道)小狗行动罢了。这种在人为的条件下，经过多次反复训练，产生习惯性的行动，就称为条件反射。

杂技节目开始了，观众看到一群小狗走上台来，规矩地坐在那里，在驯兽演员的指挥下，根据观众们出的算术题，轮流将台上排着阿拉伯数字的牌子衔给演员，正确地“算”出答数时，大家都情不自禁地鼓起掌来，而且也会感到很惊奇。难道小狗真会做算术吗？小狗真和人一样懂得1+1=2、2+3=5吗？

我们知道，不论人或动物，有很多动作是生下来就会的。如小孩一生下来，就会吮奶。初生的小狗也会吃奶。这种行动，不经过任何学习，生下来就会的，称为先天性反应,或称无条件反射。

然而，杂技团里的小狗不是一生下来就会“做”算术的，演员训练它“做”算术，要经过一番训练功夫的。训练的时候，演员用某种动作指挥小狗衔各种算术答数的牌子，每一块牌子，演员都用一个动作来表示，这样经过长期的训练,小狗虽不“识”牌子上的字，但对演员的一举一动，留下深刻的印象，并能听从演员的指挥去衔写着算术题答数的牌子。观众们看到小狗衔的牌子上面是算术题的答数，以为小狗真会“计算”。这是种假相，实际上，是演员在做算术，只是他指挥(他的动作只有小狗知道)小狗行动罢了。这种在人为的条件下，经过多次反复训练，产生习惯性的行动，就称为条件反射。

这种条件反射的现象，在人的生活中，同样是普遍存在的。条件反射的现象，是苏联生理学家巴甫洛夫用多次的实验所证明的。现在我们知道了，杂技团里的小狗所以会做算术，也是应用了巴甫洛夫条件反射的原理。

有趣的数学故事:几个有趣的算术问题的分析

小学生学习珠算时，通常会做三个基本练习:自然数积累、三套清算和九套清算。

其中，自然数的累加是1+2+3+4+…+97+98+99+100。其计算结果可用常见的算术数列(第一项+最后一项)×项数u 2的求和公式计算。从1到100是5050，根据这个公式可以计算任意数量的段的总和。

清朝的第三套也叫“看珍珠，玩珍珠”。首先用算盘拨123456789，然后从左到右加你看到的任何数字，第一次加完后从左到右加第二次和第三次。这个加法的结果是987654312。如果你在末尾加上9，它就变成987654321。

九盘清是先在算盘上拨123456789，然后反复加123456789，加九次后，结果是1234567890。

我从小就有一个非常聪明的头脑，但是我的手指很笨。我最害怕上珠算课。在课堂上，老师要求我们练习积累。完成从1到100的增加后，全班同学都一一举手。然而，在56岁、57岁、58岁的时候，我仍然在摸索算盘珠子，...我很尴尬，在拨了5050后偷偷举起了手。后来，老师发现一些学生每天都在作弊和改变。今天的需求从1增加到73，明天的需求从1增加到84，...，这使得每个人都不可能预测最终的计算结果。然而，对我来说，到10岁并不难。通过自己的分析，总结出用(第一个数字+最后一个数字)×数字u 2的方法，在纸上偷偷写下答案，然后拨到算盘上与老师交涉。直到我在初中学习了数列之后，我才知道伟大的德国数学家高斯在他十岁的时候用这种方法计算了从1到100的增量。当我还是个孩子的时候，我很自豪拥有和著名数学家一样的思维方法。

对于三盘和九盘清理计算结果中的规律性数字，我小时候也偷偷的做过分析和研究，总结出了有规律性数字的原因。

事实上，原始数字连续三次乘以2，即乘以8，而123456789×8 = 123456789×(10-1-1)= 1234567890-123456789-123456789，因此从减法计算的垂直公式中可以看出，除了第一次减法的位数为0之外，被减数比减数大1。如果您先将三盘清零计算结束时添加的9加到被减数上，则第一次减少的位数为0，其他位数都为1，第二次减少的位数为1111111110-123456789。在这种减法的计算垂直形式中有一个有趣的规则:当减少的位数为0时，被减数必须从10位数中借用1才能变成10，而当减少的位数为0时，它必须从100位数中借用1才能变成10。类似地，100位数从数千人那里借款，数千人从数万人那里借款...计算时，标准被减数是从每个数字的开头开始的0，从前一个数字借用的被减数是10。每个数字是10减去减数。对于副热带，它是123456789，按顺序递增。最终的计算结果当然是987654321，依次递减。

对九盘清的分析相对简单得多。一个数字加九倍实际上是十个数字的和，所以十个数字的和当然是1234567890。

在上个世纪八十年代，有一个有趣的现象，台湾省的一个小学生在玩电子计算器时偶然发现的。如果你在计算器里输入12345679个八位数，然后乘以9，你会得到111111111，比如九个一。如果你把它乘以3，你会得到037037037，如果你把它乘以6，你会得到174174174174，...如果你把它乘以18，你会得到2222222222...只要在81以内。乘以3的倍数，会有一个三位数的循环，乘以9的倍数，会有九个连续的相同数字，9的倍数就是九个连续的1。当时，世界各地的许多人都用计算器尝试过这个规则，但他们只知道它是什么，不知道为什么。当时，宁波一位好奇的记者请当时宁波一中的校长、全国著名的高中数学老师陈守礼在《宁波日报》上撰文分析这一有趣现象的原因。然而，陈的分析是复杂的，每个人都难以理解。读完之后，我立刻用小时候分析三套清朝的方法对它进行了分析。我发现，这种计算器现象其实比分析三套清代更简单。我把我的分析发给陈老师，但他可能没有收到，也没有回复。现在我写下这个分析，并与广大数学爱好者分享。12345679×9 = 12345679×(10-1)= 123456790-12345679。从这个减法计算的垂直公式可以看出，前几个数字都比被减数大一个，二年级9到7年级没有8位十进制数字，但是单个数字0不足以从十进制数字中减去1，所以十进制数字也比被减数大一个，并且一位十进制数字被减数在借用1也比减数分裂大一个之后变成10。因此，乘以9的结果显示了具有九个连续1的111111111现象。乘以9的结果是每个数字都是1，然后乘以几倍(只要在9倍以内)，当然，每个数字都是几倍。现在让我们分析一下乘以3后的现象，12345679×3 = 12345679×9÷3 = 11111111÷3。从可被3整除的数的规则中，我们可以看到在三个连续的数字上加上三个1等于3可以被3整除，这样九个1可以被分成三个1，这样每一段中的111可以被3整除，从而产生一个三位数的循环。当乘数为81时，三位数字的循环数最大为999，如果数较大，第四位数字将改变前一个循环的值，因此只要乘数在81以内，12345679乘以3的倍数的结果将是三位数字循环的三个循环，而9的倍数将是九个相同的数字。

平方根和算术平方根的区别如下：1.正负不同，平方根可以是正的，也可以是负的，还可以是0，但是算术平方根一定是非负的。2.个数不同，正数的平方根有两个且互为相反数，正数的算术平方根只有一个。3.表示方法不同，前者非负数a的平方根为a的正负平方根，后者非负数a的算术平方根为a的正的平方根。

平方根的定义为，若一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根。算术平方根的定义为：若一个正数的平方等于a，则这个数叫做a的算术平方根。二者都是数学中重要的定义，切记不可将二者弄混淆。

举例：

若3²=9，3是9的平方根，(-3)²=9，-3是9的平方根，3和-3都是9的平方根，但9的算术平方根只有3。也就是说，算术平方根是平方根中的一个。

算术是数学中最古老、最基础和最早的部分。它研究数的性质及其运算。

“算术”一词是中国古代所有数学的统称。至于许多数学分支的名称，如几何和代数，它们出现得很晚。

国外系统整理了前人的数学知识，这是希腊欧几里得几何元素中最早的。《原几何》共有15卷，后两卷由人补充。这本书的大部分属于几何知识，第7、8和9卷专门讨论属于算术的数字的性质和运算。

现在拉丁语单词“算术”是从希腊语单词“数字和数字”(音韵学，sh？三声)技术的数量”。在中国，“计算”这个词的古意也是“数字”的意思，意思是计算用的竹片。在古代中国，复数是通过计算来计算的。所以“算术”包括了当时所有的数学知识和计算技巧。流传最久的《九章算术》，以及遗失的许尚的《算术》和杜中的《算术》，都是解决各种实际数学问题的方法。

关于算术的产生，还是要从数字开始。数字是用来表达和讨论数量问题的。有不同类型的量，因此产生不同类型的数。早在古代发展的初始阶段，由于人类日常生活和生产实践的需要，最简单的自然数概念出现在文化发展的初始阶段。

自然数的一个特点是它们由不可分割的个体组成。例如，树和羊是两种东西。如果你说两棵树，它们是一棵树接一棵树。如果有三只羊，它们是一只接一只的。然而，不能说有一半树或一半羊。充其量，半棵树或半只羊只能被视为木头或羊肉，而不能被视为树或羊。

然而，自然数不足以解决生活和生产中常见的除法问题，所以数字的概念第一次扩大了。分数是通过划分另一种类型的数量产生的。例如，长度是一个可以无限除的量。为了表达这些量，只使用分数。

从现有文献中可以看出，人类很早就知道自然数和分数了。例如，公元前2000年左右流传下来的古埃及莱茵草书记录了分数的计算方法。中国殷墟甲骨文中还有许多自然数。最大的数字是30，000，它们都是基于十进制位置计数的。

自然数和分数有不同的性质，数和数之间也有不同的关系。为了计算这些数字，产生了加法、减法、乘法和除法的方法。这四种方法是四种操作。

最古老的数学，算术，是通过积累和整理数和数的性质以及在应用过程中数和数之间的四种运算的经验而形成的。

在算法开发过程中，由于实际和理论的需要，出现了许多新问题。在解决这些新问题的过程中，古代算术从两个方面得到了进一步发展。

一方面，在研究自然数的四种运算时，发现只有除法比较复杂，有些可以完全除，有些不能完全除，有些数可以分解，有些数不能分解，有些数是大于1的公约数，有些数没有大于1的公约数。为了找出这些数的规律，它发展成为一个数学分支，专门研究数的性质，独立于古代算术，称为整数理论，或初等数论，并取得了新的发展。

另一方面，古代算术中讨论了各种类型的应用问题和这些问题的各种解决方案。在长期的研究中，人们自然会受到启发，寻求这些应用问题的一般解决方案。也就是说，我们能否找到一种通用的、更普遍适用的方法来解决同类应用问题，于是我们发明了抽象的数学符号，从而发展成另一个古老的数学分支，即初等代数。

随着数学的发展，算术不再是数学的一个分支。现在我们通常只把算术作为小学的教学科目。目的是使学生理解和掌握关于数量关系和空间形式的最基本的知识，正确和快速地执行整数、小数和分数的四种运算，对现代数学中一些最简单的思想有初步的理解，并具有初步的逻辑思维能力和空间概念。

现代小学数学的具体内容基本上是古代算术知识，即古代算术和现代算术的许多内容是相同的。然而，现代算术和古代算术之间仍有差异。

首先，包括数学家在内的古代成年人研究了算术的内容。现在这些内容已经成为孩子们的数学。其次，在现代小学数学中，总结了长期总结出来的基本运算性质，即加法和乘法的交换和组合规律，以及乘法对加法的分布规律。这五条基本运算法则不仅是小学数学中数学运算的重要性质，也是整个数学特别是代数中重点研究的主要性质。

第三，在现代小学数学中，也有集合、函数等数学基本概念的思想。如和、差、积、商的变化，数与数的对应关系，比率与比例等。

此外，小学数学现在包括小数和它们的四种运算，这只是在16世纪才出现。应该指出的是，十进制分数不是一个新的数字，但可以被视为另一种书写分母是10的幂的分数的方式。

我们在这里把算术列为第一个分支，主要是为了强调在古代所有的数学都被称为算术，而现代代数和数论最初是由算术发展而来的。后来，数学和数学的概念出现了，取代了算术的含义，包括所有的数学，算术成为一个分支。因此，也可以说算术是最古老的分支。

不一定。如0的算术平方根是0,是一个非负数。所以应该说“一个数的算术平方根一定是非负数”这个限于初中的。高中的话就要说是“一个实数的算术平方根一定是非负数”。

平方根与算数平方根的区别与联系

区别：

1、平方根的定义：若x²=a,则x为a 的平方根

若2²=4,2是4的平方根,（-2）²=4,-2是4的平方根

算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根

如：2和-2都是4的平方根,而2是4的算术平方根.

2、个数不同：正数的平方根有两个且互为相反数，正数的算术平方根只有一个。

3、表示方法不同：前者非负数a的平方根为a的正负平方根，后者非负数a的算术平方根为a的正的平方根

联系：

算术平方根是平方根中的一个

注意：

1、正数有两个平方根,他们互为相反数,负数没有平方根,0的平方根是0

2、非负数的算术平方根只有一个。

你知道如何让孩子快速学会100以内的算数题吗？一起来看看吧。

操作方法

首先，我们应该给孩子打下一个良好的基础，这就要求我们在孩子上幼儿园的时候，或者在平时在家的时候我们就有意识地引导孩子去学习算数。

平时家里买了芋头或者其他食物的时候我们也可以教孩子进行数数，这样子孩子最初可以对数字有一个概念，在学会数数以后就可以教她如何进行加减了。

在教孩子100以内的算数题的时候，最好我们先从十以内的加减法开始，在学会使以后我们再用十进制教他百位数以内的加减法，而且可以通过提问的形式，如果回答正确的话，可以给孩子一定的奖励。

其实我们也可以给孩子买一些带有数字和加减乘除的积木，这样子也有利于孩子开发智力

若x的平方等于a，则x为a的平方根；而一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。

一、正负不同

平方根可以是正的,也可以是负的,还可以是0,但是算术平方根一定是非负的。

二、个数不同

正数的平方根有两个且互为相反数，正数的算术平方根只有一个。

三、表示方法不同

前者非负数a的平方根为a的正负平方根，后者非负数a的算术平方根为a的正的平方根。

四、平方根和算术平方根的联系

平方根和算术平方根有着包含关系，平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个，而且非负数才有平方根和算术平方根，零的平方根和零的算术平方根都是零。

一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则x叫做a的算术平方根。算术平方根是平方根中非负数的一个，只有正数没有负数。其中，0或1的算术平方根等于它本身。算术平方根和平方根的联系：

1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。

2、存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。

3、0的算术平方根和平方根相同，都是0。

算术平方根与平方根的区别：

1、正负不同：算术平方根只能是非负的，但是平方根可以是正的，也可以是负的，也可能是0。

2、个数不同：正数的算术平方根只有一个，正数的平方根有两个且互为相反数。

3、表示方法不同：前者非负数a的平方根为a的正负平方根，后者非负数a的算术平方根为a的正的平方根。

算术平方根：

一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。例如：5的算术平方根是：√5 。

平方根：

平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根(arithmetic square

root)。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。例如：5的平方根是：±√5 。

多功能算术/逻辑运算单元(ALU) ,什么是多功能算术/逻辑运算单元(ALU)

由一位全加器(FA)构成的行波进位加法器，它可以实现补码数的加法运算和减法运算。但是这种加法/减法器存在两个问题：一是由于串行进位，它的运算时间很长。假如加法器由n位全加器构成，每一位的进位延迟时间为20ns，那么最坏情况下， 进位信号从最低位传递到最高位而最后输出稳定，至少需要n*20ns，这在高速计算中显然是不利的。二是就行波进位加法器本身来说，它只能完成加法和减法两种操作而不能完成逻辑操作。本节我们介绍的多功能算术/逻辑运算单元(ALU)不仅具有多种算术运算和逻辑运算的功能，而且具有先行进位逻辑， 从而能实现高速运算。1.基本思想一位全加器(FA)的逻辑表达式为Fi＝Ai⊕Bi⊕CiCi＋1＝AiBi＋BiCi＋CiAi (2.35)我们将Ai和Bi先组合成由控制参数S0，S1，S2，S3控制的组合函数Xi和Yi，然后再将Xi，Yi和下一位进位数通过全加器进行全加。这样，不同的控制参数可以得到不同的组合函数，因而能够实现多种算术运算和逻辑运算。

图2.10 ALU的逻辑结构原理框图

因此，一位算术/逻辑运算单元的逻辑表达式为Fi=Xi⊕Yi⊕Xn+iCn+i+1=XiYi+YiCn+i+Cn+iXi上式中进位下标用n＋i代替原来以为全加器中的i，i代表集成在一片电路上的ALU的二进制位数。对于4位一片的ALU，i＝0，1，2，3。n代表若干片ALU组成更大字长的运算器时每片电路的进位输入，例如当4片组成16位字长的运算器时，n＝0，4，8，12。

2.逻辑表达式控制参数S0，S1，S2，S3 分别控制输入Ai 和Bi ，产生Y和X的函数。其中Yi是受S0 ，S1控制的Ai和Bi的组合函数，而Xi是受S2，S3控制的Ai和Bi组合函数，其函数关系如表2.4所示。

表2.4 Xi，Yi与控制参数和输入量的关系

根据上面所列的函数关系，即可列出Xi和Yi的逻辑表达式Xi＝S2S3＋S2S3（Ai＋Bi）＋S2S3（Ai＋Bi）＋S2S3AiYi＝S0S1Ai＋S0S1AiBi＋S0S1AiBi

进一步化简并代入前面的求和与进位表达式，可得ALU的某一位逻辑表达式如下

(2.36)

4位之间采用先行进位公式，根据式（2.36），每一位的进位公式可递推如下：第0位向第1位的进位公式为Cn＋1＝Y0＋X0Cn其中Cn是向第0位（末位）的进位。第1位向第2位的进位公式为Cn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn第2位向第3位的进位公式为Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X2＋Y0X1X2＋X0X1X2Cn第3位的进位输出（即整个4位运算进位输出）公式为Cn＋4＝Y3＋X3Cn＋3＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3＋X0X1X2X3Cn设

G＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3P＝X0X1X2X3则Cn＋4＝G＋PCn (2.37)这样，对一片ALU来说，可有三个进位输出。其中G称为进位发生输出，P称为进位传送输出。在电路中多加这两个进位输出的目的，是为了便于实现多片（组）ALU之间的先行进位，为此还需一个配合电路，称之为先行进位发生器(CLA)，下面还要介绍。

Cn+4是本片(组)的最后进位输出。逻辑表达式表明，这是一个先行进位逻辑。换句话说，第0位的进位输入Cn可以直接传送到最高位上去，因而可以实现高速运算。用正逻辑表示的4位算术/逻辑运算单元(ALU)的逻辑电路图如下，它是根据上面的原始推导公式用TTL电路实现的。这个器件的商业标号为74181ALU。

3.算术逻辑运算的实现上演示图中除了S0－S3四个控制端外，还有一个控制端Ｍ，它使用来控制ALU是进行算术运算还是进行逻辑运算的。当Ｍ＝0时，Ｍ对进位信号没有任何影响。此时F 不仅与本位的被操作数Y和操作数X 有关，而且与本位的进位输出，即C 有关，因此Ｍ＝0时，进行算术操作。当Ｍ＝1时，封锁了各位的进位输出，即C ＝0，因此各位的运算结果F 仅与Y 和X 有关，故Ｍ＝1时，进行逻辑操作。图2.11(b)示出了工作于负逻辑和正逻辑操作数方式的74181ALU方框图。显然，这个器件执行的正逻辑输入/输出方式的一组算术运算和逻辑操作与负逻辑输入/输出方式的一组算术运算和逻辑操作是等效的。

图2.11 74181ALU的逻辑电路图和方框图

表2.5列出了74181ALU的运算功能表，它有两种工作方式。对正逻辑操作数来说，算术运算称高电平操作，逻辑运算称正逻辑操作(即高电平为“1”，低电平为“0”)。对于负逻辑操作数来说，正好相反。由于S －S 有16种状态组合，因此对正逻辑输入与输出而言，有16种算术运算功能和16种逻辑运算功能。同样，对于负逻辑输入与输出而言，也有16种算术运算功能和16种逻辑运算功能。

表2.5 74181ALU算术/逻辑运算功能表

说明：(1)H＝高电平，L＝低电平.(2)*表示每一位均移到下一个更高位，即A*＝2A注意，表2.5中算术运算操作是用补码表示法来表示的。其中“加”是指算术加，运算时要考虑进位，而符号“＋”是指“逻辑加”。其次，减法是用补码方法进行的，其中数的反码是内部产生的，而结果输出“A减B减1”，因此做减法时需在最末位产生一个强迫进位(加1)，以便产生“A减B”的结果。另外，“A＝B”输出端可指示两个数相等，因此它与其他ALU的“A＝B”输出端按“与”逻辑连接后，可以检测两个数的相等条件。

4.两级先行进位的ALU前面说过，74181ALU设置了P和G两个本组先行进位输出端。如果将四片74181的P，G输出端送入到74182先行进位部件（CLA），又可实现第二级的先行进位，即组与组之间的先行进位。假设4片（组）74181的先行进位输出依次为P0，G0，G1P1，P2，G2，P3，G3，那么参考式(2.37)的进位逻辑表达式，先行进位部件74182CLA所提供的进位逻辑关系如下：Cn＋ｘ＝G0＋P0CnCn＋ｙ＝G1＋P1Cn＋ｘ＝G1＋G0P1＋P0P1Cn Cn＋ｚ＝G2＋P2Cn＋ｙ＝G2＋G1P2＋G0P1P2＋P0P1P2Cn(2.38) Cn＋4 ＝G3＋P3Cn＋ｚ＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3＋P0P1P2P3Cn ＝G*＋P*Cn其中P*＝P0P1P2P3 G*＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3根据以上表达式，用TTL器件实现的成组先行进位部件74182的逻辑电路图如下所示，其中G*称为成组进位发生输出，P*称为成组进位传送输出。

下面介绍如何用若干个74181ALU位片，与配套的74182先行进位部件CLA在一起，构成一个全字长的ALU。下图示出了用两个16位全先行进位部件级联组成的32位ALU逻辑方框图。在这个电路中使用了八个74181ALU和两个74182CLA器件。很显然，对一个16位来说，CLA部件构成了第二级的先行进位逻辑，即实现四个小组（位片）之间的先行进位，从而使全字长ALU的运算时间大大缩短。

图2.13 用两个6位全先行进位部件级联组成的32位ALU

15.你如何理解算术和算术数字？

算术是数学的一个分支。主要讨论非负整数、分数和小数的读取方法和计数方法，以及由它们的加法、减法、乘法、除法和乘法等运算生成的数的性质和算法。算术进一步发展成代数和数论。小学数学教科书的主要内容是算术知识。最近，由于增加了一些代数知识，为了使名称和内容一致，小学数学教科书不再叫“算术”，而是叫“数学”。

算术数是自然数、零和正分数(十进制)的统称。它也可以称为“非负有理数”。

平方根和算术平方根的区别如下：

1、定义不同。平方根的定义：若x的平方等于a，则x为a的平方根。算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。

2、个数不同。正数的平方根有两个且互为相反数，正数的算术平方根只有一个。

3、表示方法不同。a的平方根为正负根号a；a的算术平方根为根号a。

平方根和算术平方根的关系：

1、二者有包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。

2、存在条件相同。非负数才有平方根和算术平方根。

3、零的平方根和零的算术平方根都是零。

积的算术平方根等于各因数的算术平方根的积。用式子表示为√ab=√a·√b，a≥0，b≥0。

积的算术平方根的性质

√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）适用范围：被开方数如果还有字母，考虑它的隐含条件，被开方数是非负数，考虑整个式子的值的符号。

积的算术平方根的化简

√18=√9×2=√32×2=√32×√2=3√2，首先将被开方数进行因式分解，化为乘积的形式，如果根号内有开的尽方的因式就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，达到化简的目的。

二次根式的乘法

二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，再把结果化为最简二次根式√a·√b=√a·b(a≥0，b≥0)，用语言叙述为：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。可以推广为：√a1√a2√a3……√an=√a1a2a3an(n=3,4,5,6……)(a≥0，b≥0)。