有理数的分类（最新17篇）

三、新知讲解

1.正数、负数的实际意义

相反意义的量是指两个数量，它们所表示的意义恰好相反，具有相反意义的量包含两个要素，一是意义相反；二是它们都是数量，而且是同类的量．

前进8m与前进5m，上升与下降不是相反意义的量；因为前者意义相同，后者缺少数量．

在具有相反意义的一对量中，把其中一个用正数表示，那么另一种量就用负数表示．

如果大雁向南飞30米记作+30米，那么向北飞50米记作-50米．

明明做缆车上升10米记作+10米，那么-15米表示下降15米．

2.0的意义

引入正负数后，0不再简简单单的只表示没有．

0既不是正数也不是负数．0是正数与负数的分界．

0℃不是表示没有，而是表示冰点这样一个确定的温度．

海拔0m表示海平面的平均高度．

3.正数、负数在实际生活中的应用

正数和负数在一些特定范围内可以表示相反意义的量，还可以简便地表示误差．

三、新知讲解

1.相反意义的量

运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的

相反意义的量.

请你举出一个生活中具有相反意义量的例子零上５℃和零下３℃.

2.正数和负数的表示方法

一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的.

像-3，-1.3，-2.7%这样在正数前面加上“-”（负）号的数叫做负数.-3读作负３.

一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号，“+”号可省略不写.

一般地，含有“-”号的数是负数，不含“-”号的非零数是正数.特别地，像-a，+b这样的数的正负跟a，b的值有关.如-（-1）=1，是正数；+（-1）=-1，是负数.

0既不是正数，也不是负数.

1．有理数的概念

【例1】在数-5，，-0.1010010001…，0，，1.414，π中，有理数的个数是（）

A．B．3个C．4个D．5个

总结：

1.整数和分数统称为有理数.凡是能写成（p，q为整数，且q≠0）形式的数，都是有理数.

2.有限小数与无限循环小数都能表示成分数形式，无限不循环小数不是有理数，如π不是有理数．

练1．下列四个数中，不属于有理数的是（）

A．﹣2.5B．C．1.2520972502…D．0

练2．下面说法正确的是（）

A．有理数是整数

B．有理数包括整数和分数

C．整数一定是正数

D．有理数是正数和负数的统称

2.有理数的分类

【例2】把下列各数填入它所属于的集合内：

15，﹣，﹣5，，﹣，0.1，﹣5.32，﹣80，123，2.333

正整数集合{…}

负整数集合{…}

正分数集合{…}

负分数集合{…}．

总结：对有理数进行分类，首先要理解以下数的概念：

1.正数：像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数．正数的前面可以加上正号（即加号）“+”来表示

2.负数：在正数前加上“-”的数叫做负数；

3.整数：像-2，-1，0，1，2这样的数叫做整数；

4.分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数．

练3．在5，﹣2，﹣0.3，，0，﹣，0.57，﹣1，102，﹣17中，

属于正整数的有；

属于负数的有；

属于整数的有．

练4．（1）把下列各数填入应的圈内：2，5，0，﹣1.5，π，﹣3，0.3；

（2）说出这两个圈的重叠部分表示什么数？

3．带“非”字的数的集合

【例3】写出5个数（不能重复），同时满足下列三个条件；

①其中三个数是非正数；

②其中三个数是非负数；

③五个数都是有理数.

这五个数是．（只写出一组即可）

总结：

1.有理数分为正数、0和负数三类，正数和0统称非负数；负数和0统称非正数．

2.一个数不是0，则它可能是正数或负数；若一个数不是正数，则它可能是负数或者0；若一个数不是负数，则它可能是正数或者0.

练5．把下列各数分别填在相应的横线上：

1，﹣0.20，，325，﹣789，0，﹣23.13，0.618，﹣2008．

负数有：；

非负数有：；

非负整数有：．

练6．下列说法正确的是（）

A．存在最大的有理数B．存在最小的有理数

C．存在最大的非负数D．存在最小的非负数

小学学过的零表示没有，而引入负数后,就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。

有理数按照定义，可以分为整数和分数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。因此，有理数按照性质，也可以分为正数、零、负数。

一、选择题

1．（2014？历下区二模）某花卉的保存温度t满足（18±2）℃，则该花卉适宜保存的温度范围是（）

A．16℃≤t≤18℃B．16℃≤t≤20℃C．16℃≤t≤22℃D．18℃≤t≤18℃

2．（2012？北塘区一模）检测4袋食盐，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中，最接近标准质量的是（）

A．+0.7B．+2.1C．﹣0.8D．﹣3.2

3．（2011？宜昌）如果用+0.02克表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02克，那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02克记作（）

A．+0.02克B．﹣0.02克C．0克D．+0.04克

4．（2010？吉安二模）某项科学研究需要以30分钟为一个时间单位，并记研究那天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如那天9：30记为﹣1，10：30记为1等等，依此类推，那天上午7：30应记为（）

A．﹣3B．﹣5C．﹣2.30D．﹣2.5

5．（2006？丽水）按照“神舟”六号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，要求“神舟”六号飞船返回舱的温度在21℃±4℃之间，则该返回舱中温度t（℃）的范围是（）

A．17≤t≤25B．25≤t≤17C．t≥17D．t≤25

6．（2004？无为县）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25±0.1）kg、（25±0.2）kg、（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）

A．0.8kgB．0.6kgC．0.5kgD．0.4kg

二、填空题

7.甲冷库的温度是-12°C，乙冷库的温度比甲冷酷低5°C，则乙冷库的温度是_______.

8.如果某公司的股票第一天涨6.25％，表示为＋6.25％，第二天跌1.36％，应表示为________.

9.一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05(单位：mm)，表示这种零件的标准尺寸是9mm，加工要求最大不超过标准尺寸_______，最小不小于标准尺寸_________.

10．（2008？北海）某粮店运进大米5吨记作+5吨，那么﹣4吨表示．

11．（2005？吉林）某食品包装袋上标有“净含量385克±5克”，这包食品的合格净含量范围是克～390克．

三、解答题

12.判断对错.

（l）0是自然数，也是偶数.（）

（2）0可以看成是正数，也可以看成是负数.（）

（3）海拔－155米表示比海平面低155米.（）

（4）如果盈利1000元，记作＋1000元，那么亏损200元就可记作－200元.（）

（5）如果向南走记为正，那么－10米表示向北走－10米.（）

（6）温度0℃就是没有温度.（）

（7）一个数不是正数就是负数.（）

13．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度.

【例3】写出5个数（不能重复），同时满足下列三个条件；

①其中三个数是非正数；

②其中三个数是非负数；

③五个数都是有理数，

这五个数是﹣1，，0，3，5.2．（只写出一组即可）

分析：由于5个数（不能重复）满足三个数是非正数；且满足三个数是非负数，则5个有理数中有一个0，两个正数，两个负数，然后按此要求写出5个有理数即可．

解答：解：首先根据条件①②可知这5个数中必有一个0；

然后再写两个负数：﹣1，，两个正数3，5.2．

故答案为﹣1，，0，3，5.2．

点评：本题考查了有理数的定义：整数和分数统称为有理数．有理数的分类：按整数、分数的关系分类；按正数、负数与0的关系分类．

练5．把下列各数分别填在相应的横线上：

1，﹣0.20，，325，﹣789，0，﹣23.13，0.618，﹣2008．

负数有：﹣0.20，﹣789，﹣23.13，﹣2008；

非负数有：1，，325，0，0.618；

非负整数有：1，325，0，﹣2008．

分析：根据有理数的分类进行判断即可．

解：负数有：﹣0.20，﹣789，﹣23.13，﹣2008；

非负数有：1，，325，0，0.618；

非负整数有：1，325，0，﹣2008；

点评：本题考查了有理数的分类．注意整数和正数的区别，注意0是整数，非负数．

【例2】把下列各数填入它所属于的集合内

15，﹣，﹣5，，﹣，0.1，﹣5.32，﹣80，123，2.333

正整数集合{…}

负整数集合{…}

正分数集合{…}

负分数集合{…}．

分析：根据有理数的分类填写：

．

解答：解：正整数集合{15，123…}；

负整数集合{﹣5，﹣80…}；

正分数集合{，0.1，2.333…}；

负分数集合{﹣，﹣，﹣5.32…}．

点评：本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数的定义是关键．

有理数表示在一条直线上。当在一条水平直线上选定代表0和1的点之后（0在1的左边），把0和1间的距离叫作单位长度，在1的右边每隔一个单位长度就取一个点，一直无止境地进行下去，把这些新标示出来的点从左到右依次用来代表2，3，4......这些正整数。

有理数的分类

1、按有理数的定义分类

有理数分为：整数和分数。整数分为正整数、零、负整数； 分数分为：正分数、负分数。

2、按有理数的性质分类

有理数分为正有理数、零、负有理数。正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。

有理数的乘法运算

1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与零相乘，都得零。

3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

一、选择题

1.下列各对关系中，不具有相反意义的量的是（）.

A.运进货物3吨与运出货物2吨B.升温与降温

C.增加100吨与减少200吨D.胜3局与输4局

2．下列结论中正确的是（）

A．0既是正数，又是负数B．0是最小的正数

C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数

3．给出下列各数：-3，0，+5，，+3.1，，2004，+2010；其中是负数的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

4．（2012？重庆模拟）在2，1，0，﹣1这四个数中，是负数的数是（）

A．2B．1C．0D．﹣1

二、填空题

5.找出具有相反意义的量_______________________________________.

①零上9℃；②运进8吨；③零下4℃；④向南走7米；⑤向北走8米；⑥支出500元；⑦收入600元；⑧小华重30千克；⑨在银行存款800元，一年后得到利息50元；⑩运出10吨.

6．已知下列各数：，，3.14，+3065，0，-239；

则正数有_____________________；负数有____________________.

7．25．9，﹣1，0，0.2，，3中，正数一共有个．

三、解答题

8.将下列具有相反意义的量用线连起来.

①向南走6米⑥失球2个

②进球5个⑦亏损500元

③高于海平面960米⑧运出200吨粮食

④盈利1000元⑨向北走30米

⑤运进590吨粮食⑩低于海平面300米

1．判断两个量是否是相反意义的量

【例1】下列组量中，属于相反意义的量的是（）

A．向东5米与向南5米B．多了3kg与少了2元

C．升高3℃与降低2℃D．楼上3个男人与楼下2个女人

总结：

1.判断两个量是否是相反意义的量，要抓住两点：一是含义是否相反，二是否是同一个单位量.

2.不满足任何一个条件，它们就不是相反意义的量.

3.特别地，不是任何一组反义词都可以作为相反意义的量，如男生2人与女生3人，楼上3人与楼下2人也不是相反意义的量.

练1下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（）

A．收入200元与支出20元B．上升10米和下降7米

C．超过0.05mm与不足0.03mD．增大2岁与减少2升

2.正负数的引入（用正负数表示相反意义的量）

【例2】如果记海拔300米为+300米，那么海平面下500米记作________，读作__________.

总结：

1.对于一组相反意义的量，如果定义一个为正的，那么另一个就为负的.

2.如果条件没有规定哪个量是正的，就需要我们来定义.例如用正负数表示向东5米与向西3米，可以记作+5米，-3米或者-5米，+3米.

3.注意单位不能忽略.

练2某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨，那么运出3.8吨应记作吨.

练3如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降6m时的水位变化记作m.

3．判断一个数是正数还是负数

【例3】下列各数中，属于负数的是（）

A．-0B．-aC．﹣3D．﹣（﹣3）

总结：

1.一个正数前面带一个负号的数是负数.判断一个数是否是负数，一要看符号后面的数；二要看负号的个数.

2.如果符号后面的数是字母，则要对字母的正负进行讨论.如果符号后面的数是确定的正数，就要看负号的个数，奇数个负号则为负数，偶数个负号则为正数，如-（+（-1））为正数.0的前面无论怎么添加符号都为0.

练4下列各数中，为负数的是（）

A．0B．﹣2C．-（-1）D．

练5下列各数是负数的是（）

A．﹣1B．0C．2012D．-（-38）

练6．下列说法正确的是（）

A．存在最大的有理数B．存在最小的有理数

C．存在最大的非负数D．存在最小的非负数

分析：没有最大的有理数，也没有最小的有理数；没有最大的非负数，但有最小的非负数．注意0这个数比较特殊．

解答：解：A、不存在最大的有理数．故本选项错误；

B、不存在最大的有理数，故本选项错误；

C、不存在最大的非负数，故本选项错误；

D、存在最小的非负数是0，故本选项正确．

故选D．

点评：本题考查了有理数的性质，注意非负数的定义．特别注意：0这个数．

练3．在5，﹣2，﹣0.3，，0，﹣，0.57，﹣1，102，﹣17中，

属于正整数的有5，102；

属于负数的有﹣2，﹣0.3，﹣，﹣1，﹣17；

属于整数的有5，﹣2，0，102，﹣17．

分析：照有理数的分类填写即可，整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数和负分数．

解答：解：属于正整数的有：5，102；

属于负数的有：﹣2，﹣0.3，﹣，﹣17；

属于整数的有：5，﹣2，0，102，﹣17．

点评：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

三、新知讲解

1.有理数的概念

整数和分数统称为有理数.

正整数、零、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为负数.

2.有理数的分类

（1）按定义分类

（2）按符号分类

3.数集的概念（拓展）

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集.

（1）所有有理数组成的数集叫做有理数集；

（2）所有整数组成的数集叫做整数集；

（3）所有的整数组成的数集叫做正数集；

（4）所有的负数组成的数集叫做负数集.

练2．下面说法正确的是（）

A．有理数是整数

B．有理数包括整数和分数

C．整数一定是正数

D．有理数是正数和负数的统称

分析：根据有理数的概念，利用排除法求解即可．

解答：解：整数和分数统称为有理数，A错误；

整数和分数统称有理数，这是概念，B正确；

整数中也含有负整数，C错误；

有理数是正数、负数和0的统称，所以D错误．

故选B．

点评：本题主要是概念的考查，熟练掌握概念是学好数学必不可少的．

一、选择题

1．（2009？温州）在：0、1、﹣2、﹣3.5这四个数中，是负整数的是（）

A．0B．1C．﹣2D．﹣3.5

2．在有理数：﹣12，71，﹣2.8，，0，7，34%，0.67，﹣，，﹣中，非负数有（）

A．5个B．6个C．7个D．8个

3．在1、﹣7.2、﹣5、+2.7、0、4、0.3中，属于整数集合的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

4．下列各数中：+6，﹣8.25，﹣0.4，，9，，﹣28，负有理数有（）个．

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．下列说法正确的是（）

A．非负数是正数B．非正整数是负整数

C．0和正整数是自然数D．非正数小于0

6．在0，﹣1，﹣2，﹣3，5，3.8，﹣1，中，非负整数的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

7．把下面的有理数填在相应的大括号里：4，﹣，3.5，0，，﹣6，﹣，208，﹣4.6，﹣37，

整数：；

分数：；

正数：；

负数：_____________________________．

8．有理数中，最大的负整数是．

9．下列各数中：﹣9，0.7，﹣0.2，0，75，198，﹣18属于非负整数的有．

10．有限小数和无限循环小数统称数．

11．写出一个有理数，使它满足：①是非正数；②是分数．答：．

三、解答题

12．如图两个椭圆分别表示正数集合和整数集合，

（1）请在每个圈内填入6个数；

（2）其中有3个数既是正数又是整数，这3个数应填在处（A，B，C），你能说出两个圈重叠部分表示什么数的集合吗？

1.正数和负数的实际意义

【例1】东、西为两个相反方向，如果-6米表示一个物体向西运动6米，那么+3米表示______；物体原地不动记为_________.

总结：

1.对于两个具有相反意义的量，把哪一种意义规定为正，带有任意性，不过习惯上把向东、上升、盈利、运进、增加、收入等规定为正，把它们的相反量规定为负.

2.负数的存在是有前提条件的，必须首先规定正方向.

练1如果80m表示向东走80m，那么-60m表示________.

练2下列有关相反意义的量说法正确的是（）

A．把某公司去年的利润视为0元，该公司今年的利润为﹣15万元，表示今年亏损15万元

B．如果+906米表示比海平面高906米，那么﹣1030米表示比海平面低1030米

C．如果收入增加18元记作+18元，那么﹣50元表示支出减少50元

D．如果生产成本增长5%记作+5%，那么﹣7%表示生产成本减少﹣7%

2.正数和负数在生活中的应用

【例2】用正、负数解释：“神州六号”飞船的轨道舱要求宇航员的身高在（1.66±0.06）m范围.

总结：正数和负数在一些特定范围内可以表示相反意义的量，还可以简便地表示误差.

练3（2014？徐州模拟）有下面四包小包装火腿，按规定超过标准克数（200g）的记作正数，不足标准克数的记作负数．其中，最接近标准的是（）

A．+2B．﹣3C．+3D．﹣4

练4（2014？宜昌模拟）某种袋装大米合格品的质量标准是“50±0.25千克”．下表为四袋大米的实际质量，其中合格品是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁