有理数和无理数的总称(热门20篇)

1.同号两数相加，把绝对值相加，所得值符号不变。

如-1+(-1)=-|1+1|=-2、1.1+1.1=2.2

2.异号两数相加，若绝对值不等，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0。

如-1+2=+|2-1|=1

2+(-3)=-|3-2|=-1

-3.2+3.2=0

3.一个数同0相加，仍得这个数。3.14+0=3.14

注意：

一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。

从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记“先符号,后绝对值”，熟练以后就不会出错了。

多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

学习目标

1．掌握有理数的减法法则．

2．熟练地进行有理数的减法运算．

3．了解加与减两种运算的对立统一关系，掌握数学学习中转化的思想.

知识重点

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的________，即a－b＝a＋(－b)．

精典范例

知识点一 有理数减法法则

例1 下列运算正确的是( )

A．(－3)－(＋5)＝(＋5)－(－3)＝＋2

B．(＋3)－(－5)＝(＋3)＋(＋5)＝＋8

C．(－3)－(－5)＝(－3)＋(＋5)＝－2

D．(－3)－(＋5)＝(－3)＋(－5)＝－2

例2 (1)(教材P23练习第1题节选)计算：

①(＋4)－(－7)；②(－5)－(－8)；③0－(－5).

(2)(教材P25习题1.3第4题节选)计算：

①2(1)－3(1)；②(－2)－3(2)；

③4(3)－4(1)－2(1).

知识点二 有理数减法法则的实际应用

例3 某矿井下A，B，C三处的海拔分别为－32.5米，－120.7米，－63.8米.

(1)B处比C处高多少米？

(2)A处比C处高多少米？

变式练习

变式1 计算：

(1)0－2＝0＋________＝________；

(2)7－9＝7＋________＝________；

(3)3－(－3)＝3＋________＝________；

(4)－7－9＝－7＋________＝________．

变式2 (1)(2019·台湾)算式－3(5)－(－6(1))之值为何？( )

A．－2(3)B．－3(4)

C．－6(11)D．－9(4)

(2)(2018·山东淄博)计算2(1)－2(1)的结果是( )

A．0B．1

C．－1D．4(1)

(3)计算：－5－(－3)－(－4)－[－(－2)]．

变式3 某同学在计算时－38(7)－N，误将－N看成了＋N，从而算得结果是54(3)，请你帮助算出正确结果.

巩固练习

1．(2019·河池)计算3－4，结果是( )

A．－1B．－7

C．1D．7

2．(2019·遵义)遵义市2019年6月1日的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义市这一天的最高气温比最低气温高( )

A．25℃B．15℃

C．10℃D．－10℃

3．下列说法正确的是( )

A．0减去一个数，仍得这个数

B．负数减去负数，结果是负数

C．正数减去负数，结果是正数

D．被减数一定大于差

4．有下列计算：①(－4)－|－4|＝0；②4(1)－2(1)＝－2(1)；③0－(＋5)＝－5；④(－5)－(－4)＝－1.其中正确的有( )

A．1个B．2个

C．3个D．4个

5．(2019·玉林)计算：(－6)－(＋4)＝________．

6．(2018·四川南充)某地某天的最高气温是6℃，最低气温是－4℃，则该地当天的温差为________℃.

7．计算：

(1)(－61)－(－71)－|－8|－(－2)；

(2)(－20)－(＋3)－(－5)－(＋7)；

(3)0－(＋3)－(－5)－(－7)－(－3)；

(4)(＋20)－(－10)－(－12)－(＋5)－(＋26)．

8．下列结论错误的是( )

A．若a＞0，b＜0，则a－b＞0

B．a＜b，b＞0，则a－b＜0

C．若a＜0，b＜0，则a－(－b)＜0

D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a－b＞0

9．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图，则计算|a－b|的结果为( )

A．a＋bB．a－b

C．b－aD．－a－b

10．若数轴上A，B两点表示的有理数分别是－62(1)和74(3)，则A，B两点之间的距离为________．

11．已知a，b互为相反数，且|a－b|＝6，求b－1的值．

12．已知|m|＝37，|n|＝31，且|m＋n|＝－(m＋n)，求m－n的值．

有理数加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2、异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3、一个数同零相加仍得这个数。

有理数

有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称，是整数和分数的集合。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

有理数的减法运算

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。

有理数的加法法则

1、同号的两个数相加，取与加数相同的符号，并将它们的绝对值相加。

2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同0相加仍得这个数。

5、互为相反数的两个数，可以先相加。

6、符号相同的数可以先相加。

7、分母相同的数可以先相加。

8、几个数相加能得整数的可以先相加。

什么是有理数：

有理数是能够表示成两个整数之比的数，包括整数，有限小数和无限循环小数整数和分数统称为有理数。

数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。

什么是无理数：

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能"测量"，即没有长度（"度量"）。

无理数应满足三个条件：

1、是小数；

2、是无限小数；

3、不循环。

有理数是一种数学概念，它包括整数和分数。古希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》中给出了有理数的定义，有理数的定义可以追溯到古希腊时期。

欧几里得将有理数定义为两个整数之间的比值，也就是两个整数相除的结果。他认为每一个有理数都可以表示成两个整数的比值，而且这个比值是有限的。这个定义奠定了有理数的基本概念，并且被广泛采用至今。

除了整数和分数，有理数还包括了零和负数。零被定义为没有任何数值的数，而负数则代表了相反的数值。在欧几里得的定义中，这些数都被认为是特殊的整数，因为它们在加减法运算下表现出独特的性质。

自从欧几里得定义了有理数之后，这个概念在数学中扮演了至关重要的角色。有理数的概念被广泛应用于各个领域，包括计算、测量、统计等等。在代数、几何和三角学中，有理数也是最基础的数学概念之一。

除了欧几里得外，许多数学家都对有理数的发展做出了贡献。例如，法国数学家笛卡尔发现了代数方程的解法，并且将方程的解表示为有理数或其超越形式。德国数学家莱布尼兹发明了微积分学，而英国数学家牛顿又进一步发展了莱布尼兹的微积分理论。在这些数学家的努力下，有理数系逐渐发展成为了一个完整的数学体系。

在数学中，有理数系是基础的数学概念之一，为代数、几何、三角学等领域提供了重要的基础。同时，有理数也在实际生活中得到了广泛的应用，例如在金融、贸易、工程等领域都有它的身影。

深入理解有理数的这些细节有助于更好地运用它们解决数学问题，并在日常生活中更好地理解和应用数学。有理数的研究和应用将继续为数学领域和其他领域的发展做出重要贡献。

小学数学故事:不合理的数字干扰

无限非循环十进制数称为无理数。据说它的发现还引起了一场巨大的风暴。

公元前6世纪，古希腊有一个毕达哥拉斯学派——一个在数学研究方面取得巨大成就的宗教、科学和哲学团体，其中毕达哥拉斯定理和无理数最为著名。毕达哥拉斯学派认为，宇宙中的所有数字都可以被简化为整数或整数之比。毕的一个弟子埃伯苏斯发现等腰直角三角形的斜边与直角边之比，或正方形的对角线与一边之比，不能用整数比来表示，他感到很惊讶。他们证明了这个数字不是整数，即使绞尽脑汁也找不到，所以埃伯斯等人阐述了这个发现。他的理论违背了bi学校的信条，激起了同伴们的愤怒。他被扔进了海里。

根据另一个传说，bi学校规定，每当有新的发现或发明，它必须保密，并保持秘密，否则将受到严厉的惩罚。在他们发现无理数之后，他们认为无理数是一种无法形容的符号。其中一名门徒透露了这一发现，并受到了翻船的惩罚。然而，真理不能被封闭。不管门徒们怎么反对，无理数最终闯入了数字的圣地，进一步扩展了数字的概念。无理数很密集。不管它们有多接近，在任意两个有理数之间都有无穷多个无理数。

在理解无理数时，要抓住"无限不循环"这一时之，它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环．二者缺一不可．归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001...等；

（4）某些三角函数，如sin60o等

注意：判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断．要注意："神似"或"形似"都不能作为判断的标准．

教学目标

(一)教学知识点

1.加法与减法可以互相转化.

2.有理数的加减混合运算.

(二)能力训练要求

1.能进行包括小数或分数的有理数的加减混合运算.

2.使学生了解加法与减法可以互相转化的辩证关系.加法运算与减法运算的矛盾统一.

(三)情感与价值观要求

1.通过师生共同交流、总结，提高学生的数学素质.

2.让学生认识事物之间的普遍联系和相互转化.

教学重点

省略括号和加号会正确地进行有理数加减混合运算.

教学难点

小数或分数的加减混合运算.

教学方法

引导、探索相结合

教具准备

投影片三张

第一张：图片(记作§2．6.1A)

第二张：议一议(记作§2．6.1B)

第三张：例1(记作§2．6.1C)

教学过程

Ⅰ.通过复习回顾，引入课题

［师］上节课，我们探讨了有理数的减法，现在来共同回顾一下：在有理数减法中，重点研究了什么呢？

［生］研究了有理数减法的法则及其运用.

［师］好，那有理数减法的法则是什么呢？共同背一下.

［生齐声背］减去一个数，等于加上这个数的相反数.

［师］很好，法则不仅仅会背就可以了，最主要的是理解及运用.因为计算法则是进行计算的根据.再想一想：在有理数范围内，任意两个有理数的减法是否都有意义呢？

［生］是.

［师］对，在正有理数内没有意义的.如：3－10；因为3比10小，问3比10大多少，问题的本身就有问题，但引入负数就不同了.如果你有3元钱向售货员买了10元的物品，如果售货员让你先把物品拿走，那么你将欠售货员7元.这件事实如用算式表达，即3－10=－7所以引入负数后，小的数减去大的数就可以进行了.

前面，我们见过符号“+”与“－”，那么符号“+”与“－”各表达哪些意义？

［生］符号“+”表达的是加或者正号，符号“－”表示的是减或者负号.

［师］很好，符号“+”与“－”可表示性质符号：正号与负号；也可表示运算符号：加与减.

知识与技能：经历探索有理数乘法法则的过程，发展学生观察、归纳、猜想、验证的能力。

过程与方法：会进行有理数的乘法运算。

情感态度与价值观：培养学生的语言表达能力，以及与他人沟通，交流的能力，增强学习数学的自信心。

学习过程：

前置准备：

1.说出下列各数的符号是什么，绝对值是什么？

-3，-1，6.5，-3/2，8，7/9

2.如果向东走5m用+5m来表示，那么向西走3m该如何表示？＿＿＿＿。

3.如果连续向东走4次，最后的位置该怎样表示？

4.如果连续向西走4次，最后的位置该怎样表示？

自主学习：探究有理数乘法法则。

（1）5+5+5+5=＿＿＿＿=＿＿m（2）（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=＿＿＿＿＿=＿＿m

（3）自学课本前三自然段。

合作交流：

议一议：（-3）*4=＿＿猜一猜：（-3）*（-2）=＿＿

（-2）*6=＿＿（-2）*（-6）=＿＿

（-5）*2=＿＿（-5）*（-2）=＿＿

（-1.5）*5=＿＿（-1.5）*（-2）=＿＿

（-8）*0=＿＿（-7）*（-4）=＿＿

通过这几个题目的解决，进一步体会负数中负号的意义。

归纳总结：

有理数的乘法法则：

（1）两数相乘，同号得＿＿，异号得＿＿，绝对值＿＿＿。

（2）任何数与0相乘，＿＿＿＿。

例题解析：探究二：什么是倒数？多个有理数相乘的法则？

计算1：

（1）2/3×0.2（2）12×（-3）（3）（-1.2）×（-3）（4）（-8/3）×（-1/2）（5）（-7/6）×0

分析：两个有理数相乘时，先确定积的符号，再把绝对值相乘，带分数相乘时，要先把带分数化成假分数，分数与小数相乘时，要统一成分数或小数。

计算2：

（1）2×1/2（2）6/7×7/6（3）（-8/3）×（-3/8）（4）（-4）×（-1/4）

总结：（1）什么是倒数？

（2）正数的倒数是＿＿＿负数的倒数是＿＿＿0＿＿＿＿＿。

（3）如何求一个数的倒数？你能说说吗？

计算3：

（1）（-4）×8×（-0.25）（2）（-3/5）×（-25/6）×（-2）（3）7/3×（-5）×（-8/7）×0

总结：（1）几个有理数相乘，积的符号如何确定？

绝对值呢？

（2）如果有一个因数为0，积是

当堂训练：

课本页随堂练习。

学习笔记：

课下训练：

1.如果a＞0，b＜0，则ab＿＿0.

2.绝对值不大于5的所有负整数的积是＿＿＿。

3.如果ab＞0，那么∣a＋b∣＿＿∣a∣＋∣b∣.

4.四个互不相等的整数a.b.c.d.它们的积abcd=9.那么a＋b＋c＋d=＿＿。

5.–2.75的相反数的倒数是＿＿＿。-3的倒数是＿＿＿。

6.五个有理数的积是负数，那么这五个有理数中至少有＿＿个负数。

7.如果a＋b＜0，且ab＜0，那么

8．（1）（-1/2）×6（2）（-6）×0.25（3）（-0.3）×（-100/9）

（4）（-4）×12×（-0.5）（5）（-12.5）×（-6/7）×（-4）

有理数是七年级，也就是初一的内容。人教版七年级数学第一章的内容就是有理数，这章总共有5节内容，分别是：正数和负数、有理数、有理数的加减、有理数的乘除、有理数的乘方共5节。

扩展资料

有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称，是整数和分数的集合。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数，如根号2无法用整数比表示。有理数的小数部分有限或为无限循环。不是有理数的实数遂称为无理数，其小数部分是无限不循环的数。

有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。整数集没有这一特性，两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。

练2．下面说法正确的是（）

A．有理数是整数

B．有理数包括整数和分数

C．整数一定是正数

D．有理数是正数和负数的统称

分析：根据有理数的概念，利用排除法求解即可．

解答：解：整数和分数统称为有理数，A错误；

整数和分数统称有理数，这是概念，B正确；

整数中也含有负整数，C错误；

有理数是正数、负数和0的统称，所以D错误．

故选B．

点评：本题主要是概念的考查，熟练掌握概念是学好数学必不可少的．

有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。简单来讲，能够用分数表达的数就是有理数，不能用分数表达的数就是无理数。

实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。

有理数（Q）

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。比如4=4.0, 4/5=0.8。

无理数（R-Q）

无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。

二者区别

有理数和无理数都能写成小数形式，但是，有理数可以写为有限小数和无限循环小数，而无理数只能写为无限不循环小数。有理数可以写为整数之比，而无理数不能。

简单来讲，能够用分数表达的数就是有理数，不能用分数表达的数就是无理数。

有理数集即由所有有理数所构成的集合，用黑体字母Q表示。有理数集是实数集的子集。有理数集是一个无穷集，不存在最大值或最小值。整数集、分数集、小数集、自然数集，都是有理数集的一个子集。

实数集与有理数集的区别：

1、包含范围不同：有理数集中包含了分数和整数；实数集包含了所有有理数和无理数。

2、符号不同：有理数集可以用大写黑正体符号Q代表；实数集可以用大写黑正体符号R代表。

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。是数与代数领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

有理数这个词最初源自古希腊，是由古希腊著名的数学家、哲学家毕达哥拉斯最早提出的，后来传到了西方，明朝的时候经由传教士传到了中国，徐光启当时把它译为“理”，据说“理”在当时文言文中有“比值”的意思，后又传到日本，日本学者就把它理解为“道理、理性”。

有理数为整数和分数的统称。

有理数可分为正有理数、 0和负有理数。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

无理数是什么?很多同学在接触到无理数的时候会有一点不知所措，这种没有规律的数字有的时候确实让人觉得头疼。

起初，人们认为无理数不是数。人们想：“搞不清楚是什么的数，我怎么知道你说的是几?没道理吗!”其实它只是一种特殊的数而已。

当然了，后来人们还是接纳了它，也把它作为一种特殊的数来看待，但是没有叫它”特殊的数”，而是叫它“无理数”。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单来说，无理数是无限不循环小数。如圆周率、√2(根号2)等。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

根号5是无理数吗

根号5是无理数。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等，无理数的特征是无限的连分数表达式，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

证明过程

1.设根号下5不是无理数而是有理数，则设根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)。

2.两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

3.p^2含有因数5，设p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5。

4.这样p,q有公因数5，这与假设p,q最大公约数为1矛盾。

5.根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，

所以，根号下5不是有理数而是无理数。

无理数，也称为无限不循环小数，最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，它是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。如果将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，常见的无理数有非完全平方数的平方根、圆周率π和欧拉数e(其中π和e为超越数)还有黄金比例φ等。

公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了并提出了无理数，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，它证明了在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。希伯索斯也因为这一发现与当时该学派产生对立，当时的领导人害怕危及他们在学术界的统治地位，于是当时的毕氏门徒极力封锁该真理的流传，并处死了希伯索斯。然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”—这就是无理数的由来。

一、目标与要求

1.了解正数与负数是从实际需要中产生的。

2.能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也不是负数。

3.理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算；

4.了解倒数概念，会求给定有理数的倒数；

5.通过将除法运算转化为乘法运算，培养学生的转化的思想；通过有理数的除法

二、重点

正、负数的概念；

正确理解数轴的概念和用数轴上的点表示有理数；

有理数的加法法则；

除法法则和除法运算。

三、难点

负数的概念、正确区分两种不同意义的量；

数轴的概念和用数轴上的点表示有理数；

异号两数相加的法则；

根据除法是乘法的逆运算，归纳出除法法则及商的符号的确定。

四、知识框架

五、知识点、概念总结

1.正数：比0大的数叫正数。

2.负数：比0小的数叫负数。

3.有理数：

（1）凡能写成q/p（p，q为整数且p不等于0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。

注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；

（2）有理数的分类：

4.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。

5.相反数：

（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0;

（2）相反数的和为0等价于a+b=0等价于a、b互为相反数。

6.绝对值：

（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；

注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

（2）绝对值可表示为：

绝对值的问题经常分类讨论；

7.有理数比大小：

（1）正数的绝对值越大，这个数越大；

（2）正数永远比0大，负数永远比0小；

（3）正数大于一切负数；

（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；

（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（6）大数-小数>0，小数-大数

8.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；

注意：0没有倒数；若a≠0，那么a的倒数是1/a;若ab=1等价于a、b互为倒数；若ab=-1等价于a、b互为负倒数。

9.有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数。

10.有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：a+b=b+a;

（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

11.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。

12.有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。

13.有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：ab=ba;

（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac。

14.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即a/0无意义。

15.有理数乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时：（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n，当n为正偶数时：（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n。

16.乘方的定义：

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

17.科学记数法：

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。

18.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。

19.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。

20.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减。

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有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。

有理数（Q）

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。比如4=4.0, 4/5=0.8。

加法运算

1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同0相加仍得这个数。

5、互为相反数的两个数，可以先相加。

6、符号相同的数可以先相加。

7、分母相同的数可以先相加。

8、几个数相加能得整数的可以先相加

减法运算

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。

乘法运算

1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与零相乘，都得零。

3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

除法运算

1、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。

2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数，都得零。

注意：

零不能做除数和分母。

有理数的除法与乘法是互逆运算。

在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。

乘方运算

1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：（-2）?（-2的3次方）=-8，（-2）?（-2的2次方）=4。

2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。例如：2（2的2次方）=4，2 （2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。

3、零的零次幂无意义。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。

有理数运算定律

加法运算律:

1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即（a+b）+c=a+(b+c)a+b。

减法运算律：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a-b=a+(-b)。

乘法运算律：

1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变。

3、乘法分配律：某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即：a(b+c)=ab+ac(ab)c=a(bc)ab=ba。

是

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，因此0是一个有理数。

0是极为重要的数字，关于0这个数字概念在其它地区很早就有。公元前3000年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。古埃及早在公元前2千年就有人在记帐时用特别符号来记载零。玛雅文明最早发明特别字体的0。玛雅数字中0以贝壳模样的象形符号代表。

标准的0这个数字由古印度人在约公元5世纪时发明。他们最早用黑点“·”表示零，后来逐渐变成了“0”。在东方国家由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字）。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑， 因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。

0的另一个历史：0的发现始于印度。公元前2000年左右，古印度婆罗门教最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度婆罗门教表示无（空）的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的0是0，任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。

0的数学性质

0是最小的自然数。

0能被任何非零整数整除。

0不是奇数，而是偶数（一个非正非负的特殊偶数）。

0不是质数，也不是合数

0在多位数中起占位作用，如108中的0表示十位上没有，切不可写作18。

0不可作为多位数的最高位。不过有些编号中需要前面用0补全位数。

0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。当某个数X大于0（即X>0）时，称为正数；反之，当X小于0（即X

0是介于-1和1之间的整数。

0是最小的完全平方数。

0的相反数是0，即，-0=0。

0没有倒数

0的绝对值是其本身，即，∣0∣=0。

在所有实数的绝对值中，0的绝对值是最小的。

0乘任何实数都等于0，0除以任何非零实数都等于0；任何实数加上或减去0等于其本身。

0没有倒数和负倒数。

0不能做分母、除法运算的除数、比的后项。

0的正数次方等于0；0的非正数次方（0次方和负数次方）无意义，因为0不能做分母。

0不能做对数的底数或真数。

0作为小数部分的尾数时，0全部省略小数值不变，通常省略所有的0化简小数。但是保留几位小数时0不可以轻易省略，例如0.5是保留一位小数，0.5000是保留四位小数。

当0位于小数点后，而又不位于其他数字之前时，它表示一位有效数字。例如0.05有一位有效数字，0.0500却有三位有效数字，虽然这两个数相等，但是有效数字个数是不一样的。

0的阶乘等于1。

在复数集中，0是模最小的数，而且是唯一一个无辐角定义的元素。

0是唯一可以作为无穷小量的常数。

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，因此0是一个有理数。

低阶无穷小与高阶无穷小的比值的极限是无穷大，0是除它自己外任何无穷小的高阶无穷小。

高阶无穷小与低阶无穷小的比值的极限是0。

定积分中，积分上限和下限相等时，积分值始终为0。

概率论中，不可能事件的概率，或者在连续概率分布中位于某一特定自变量这一事件的概率，都是0。然而，概率为0的事并不一定就是不可能事件。举个例子：在一根长度为1，起始刻度为0，终了刻度为1的实数轴上随机选择某个数，对于任何一个固定的数来说，选择到它的概率都是0，但是最终必然会选择到某个数x。这样，即意味选择到x的概率是0，但不代表不可能选到x。

0有时对算式的影响很小，你看，无论多少个0相加，他们的和还是0，你看这个0不是很渺小吗？但如果一个乘法算式中，只要有一个0，他们的积就是0，你看这个0的影响不是很大吗？所以，0本身充满了矛盾。