数学趣味故事有趣简短【优秀20篇】

诱导公式的本质

所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

常用的诱导公式

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kπ+α)=sinαk∈z

cos(2kπ+α)=cosαk∈z

tan(2kπ+α)=tanαk∈z

cot(2kπ+α)=cotαk∈z

公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

符号判断口诀：

“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。

“ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

绘画与数学分归属于艺术和科学两个不一样的行业，而艺术和科学常被大家当做是文化艺术的两个“顶点”，意味着着二种不一样的智慧结晶，但他们中间并不会有严苛的界线。西班牙文艺复兴时期阶段的绘画名匠列奥纳多·达·芬奇觉得:“一门真科学务必具有两个标准：一、以理性工作经验为基本；二、能象数学一样严实论述。”他觉得绘画是最有效的科学，而绘画与数学的关联自古以来也一直为大家所赞叹不已。

工艺美术的发展趋势同数学一样具备悠久的历史。在古埃及阶段，无论平面图著作還是立体式著作，人物的设计风格一直民族利益侵害，这是由于在雕塑作品或勾勒人物时，原创者应用了规范的几何图形方格来明确著作的精确性。而拜占庭阶段的艺术艺术创作中，则选用了另一个与众不同的精确测量管理体系，即“拜占庭内切圆图解法”，3个内切圆产生了一个光晕，它是一种解析几何性或数学性的精确测量管理体系，用一个固定不动的伸开两脚的圆规，在界面上拼装每一个人物，因为应用了这类“构造性”，便促使著作具备协调能力和形象性。因而，无论是几何图形方格的应用，還是拜占庭内切圆图解法，都是有数学基本原理的反映。

实际上，很多绘画高手在新手入门时，都具有了很多数学专业知识基本。达·芬奇十四岁上下随爸爸到意大利罗马，师从于美术家和雕刻家委罗基奥。委罗基奥的美术画室热情于透视学和人体解剖学的科学研究，以科学的基础理论和实验方法看待绘画艺术，他的画坊变成劳动者、艺术与科学紧密结合的场地，在那样优异的标准下，青少年达·芬奇的才可以足以快速发展趋势。

绘画发展趋势到现在，塞尚、毕加索、勃拉克、蒙德里安等众多高手的著作里边都是有很多图形。绘画的逻辑思维、精神实质、基本特征及观查方式 等，都和数学紧密联系，绘画中的数学基本也更能使美术家呈现她们的“艺术用意”。

数学与艺术在其深层次构造上拥有很多相互的地区，也拥有很多恰当的联络。公元六世纪是毕达哥拉斯流派风靡的时期。毕达哥拉斯的学员大部分是数学家，她们用当然科学的见解来调查艺术美学难题，觉得美便是和睦。她们把数当作是全球天地万物的源头，并把数与和睦的标准用以艺术，觉得艺术也务必凭借数的关联。数学万家美术家们所思索和处理的难题，都具备美丽的关联性——对称性与均衡、占比与限度、节奏感与律动。比如，达·芬奇极致的艺术经典作品《最后的晚餐》便集中体现了数学与绘画的纯天然联络，这幅油画运用了幽美的占比，即黄金分割比。不难看出，极致的艺术造就离不了极致的数学关联。

易错点1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。

易错点2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。最短距离的方法。

易错点3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。

易错点4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。边边角两个三角形不一定全等。

易错点5：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。

易错点6：等腰(等边)三角形的定义以及等腰(等边)三角形的判定与性质，运用等腰(等边)三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。

易错点7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。

易错点8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。

易错点9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。

易错点10：直角三角形判定方法：三角形面积的确定与底上的高(特别是钝角三角形)。

易错点11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。

为何驼鸟不容易飞？

身形巨大的驼飞禽的一种，但他们却不容易飞上天啊！这不是由于他们的羽翼无论用，只是他们的翎毛都太绵软，羽翼又很小，压根不宜航行。此外，驼鸟的全身肌肉不比较发达，肩胛骨又一般，对航行也没有协助。驼鸟日常生活在非州，因为长期性处于荒漠地域，人体以便适应能力，便慢慢演变成如今的模样。

为何水果罐头里食品类不易受到影响？

午餐肉罐头、豆豉鲮鱼、茄汁豆......全是美味可口的水果罐头食材，他们都能够储放好长时间而不容易受到影响。这由于水果罐头是密封性的，病菌便没法进到。大家在生产制造水果罐头的情况下，把水果罐头里的空气所有抽出来，随后把它密封。在沒有空气的状况下，即便里边的食材沾上少量病菌，他们也没法存活或繁育啊！

为何自身搔自身时不觉得发痒？

当他人搔自身时，大家会深感痕痒，并且持续哈哈大笑；但是，当自身搔自身的情况下，大家不光不容易哈哈大笑，并且更不感痕痒。根据大家的思想观念现有了提前准备，人的大脑会传出一种不容易有风险的信息，神经系统亦随着释放压力，因此便不容易哈哈大笑起來和觉得发痒了！

怎么会起鸡皮疙瘩？

大家的肌肤表层长出体毛，而每一个皮肤毛孔下都是有一条竖毛肌，当遭受神经系统刺激性(比如：发火、担心、着凉等状况)后，人体的溫度会降低，而竖毛肌便会收拢而令头发竖立起来，产生鸡皮疙瘩。除开拥有隔热保温的功效外，这一生理学系统软件也可以使小动物的身型看上去比具体更大，进而吓跑对手。

为什么有枯叶？

秋季到来的是情况下，落叶上挥发的水分比夏季多，但树杆吸湿却比夏季少了。以便降低花草树木的水份外流，叶茎的体细胞刚开始产生一个分离出来层，待营养物质彻底离去落叶后，分离出来层会令落叶和树杆防护，落叶进而往下掉。

为何海豚会洒水？

海豚是哺乳类动物的一种，但是它的鼻子没有鼻壳，鼻腔长在头上上。在水中生活的它用肺吸气，能一次过存储许多空气，无需常常到河面通气。但当它往河面通气时，它便会用鼻吸气，而吸气时连同海面喷出来身体之外所传出的巨引擎声就是由工作压力所导致的。

太阳系有多大？

许多的毅力合在一起，构成一个极大的星球，在其中太阳系行星所属的星球叫太阳系。太阳系像一只大铁饼，宽约八万亿光年，管理中心厚约1.两万亿光年，行星的数量在1000颗之上。

为何大白天看不到星星？

由于大白天一部分太阳被空气中的汽体和浮尘透射，把天上照得十分光亮，再再加太阳辐射量的光源十分明显，使大家看不出来星星来啦。

蓝天有多高？

“蓝天白云”实际上是地球上的地球大气层。地球大气层包围着着地球上的空气，依据空气相对密度的不一样分成5层，一共有2000-3000千米厚。但绝大多数空气都集中化在从路面到15千米高下列的地区，越重高空空气越较稀。地球大气层有多厚，蓝天白云就应当有多大。

雷电是什么原因？

它是阴电和阳电遇到一起产生的天气现象。雨天时，天上的云有的带阳电，有的带阴电，二种云遇到一起时，便会充放电，传出太亮太亮的电闪，另外又释放挺大的发热量，使周边的空气迅速遇热，澎涨，而且传出挺大的响声，这就是打雷声。

飞机为何能飞上天？

飞机有两个飞机翼，像鸟儿的羽翼一样，它也有助推器。飞机翼能造成空气阻力，把飞机撑起半空中；助推器能造成工作能力，把飞机引向前行。因而，飞机就能像鸟儿一样飞上天了。

为何灌进水的瓶子不容易破？

有两个同样的玻璃瓶子，一个空着，一个灌进了水，另外从同样的高宽比落入路面上，哪一个瓶子非常容易破？一般说重的瓶子非常容易破。但是，当瓶子灌进水时，瓶子里的水也有此外一个功效，能降低瓶子的形变，反倒使瓶子不易破了。玻璃瓶子裂开，大多数是因为形变造成的。空瓶子落地式，地对瓶子造成一个工作压力，瓶子从性格外向里形变，总算裂开。瓶子盛满，因为水为不能缩小的，进而降低了形变，促使瓶子不容易裂开。瓶子里盛满，再扭紧瓶塞，就更不易磕破了。

为何保险丝能商业保险？

保险丝尽管也是一种铁丝，可是它有别于一般的铜线、细铁丝。它软乎乎的，是由铅、锑或是铅、锡等低熔点合金制成的。它的电阻较为大，溶点较为低，天害怕热。因为电流量的热电效应，要是从保险丝上根据的电流量超出保险丝的额定电压，做到融断电流量，保险丝便会快速融断，全自动把电源电路和开关电源断掉。那样，强电流量就不可以再进到客户的家中来啦，进而避免接在电源电路中的仪表盘、家用电器或输电线因电流量太强而烧毁。

为什么不可以关灯看电视？

电视的显示屏和图像都较为小，暗夜里看，眼睛视力要集中精力和拓展，对电视机屏幕上的光源的明显体现非常比较敏感，会使双眼遭受刺激性，眼睛视力下降。

地貌及其气旋能够 造就出造型设计与众不同的云。

地貌及风造成的有个性的云

云有时候会受地貌和风频的危害造成与众不同的形状，如头饰云、旋浮云，及其旗状云。

头饰云，是湿冷的气体翻过高山时造成的云，样子好像在峰顶处戴到了一顶头饰。

旋浮云，是风翻过高山以后，有时候会在山下处反跳造成上升气流，这股上升气流造成的便是旋浮云。要是气象要素不会改变，旋浮云会生時间一动不动地一直在同一个地区出現。

旗状云，就是指云好像从山的表层叆叇而出的情况。在风势强悍的大晴天经常能够 见到旗状云。

航迹云

由于飞机历经而产生的乳白色的条状云，大家称作航迹云。航迹云是飞机排出来的汽体极速制冷而产生的云，是人工服务云的一种。假如高上空较为潮湿，航迹云就会较为粗壮，能够 留存较为长的時间。相反，假如高上空较为干躁，航迹云迅速就会消退。(www.guayunfan.com)

与航迹云相对性应，飞机越过云彩产生的是反航迹云，该云顺着飞机飞行轨道慢慢消溶，外露一线蓝天白云。

雾

很多水珠悬浮在土层周边，可见度不够1km的情况，称作雾。下雾的情况下，周边的风景会越来越白蒙蒙的，看不清。雾水较浓的情况称之为大雾，就算是数十米以外的景色也看不真实，会对交通出行造成危害。

霭，就是指因很多的小雨滴促使景色略微笼罩着上一层乳白色的情况，可见度在1km之上。

雾的成因

雾，就是指土层周边的水蒸汽因事制冷，变为小雨滴悬浮半空中的状况，实际上就等于“紧靠土层转化成的云”。依据其诱因，雾能够 进一步区划为辐射雾、平流雾、蒸气雾、上坡起步雾等许多类型。

辐射雾，就是指因早晨的凉气产生的雾，多产生在秋季。平流雾，就是指溫暖湿冷的气体平流式沉淀池到严寒的河面上产生的雾。夏季日本三陆地区洋面上产生的海雾，是知名的平流雾。蒸气雾与平流雾反过来，是强冷空气注入比较溫暖的河面上产生的雾。譬如说，冬初的早晨在水面冉冉升起的像蒸气一样的雾，便是蒸气雾。上坡起步雾，是湿冷的气体沿小山坡上升造成的雾，从山脚下观查时则是层云。遮掩冲积平原的雾或者层云，大家称作云景。

有一天，动物王国非常热闹，像一个蔬菜市场，没完没了地争吵:"我的答案是正确的，你错了"，"你错了！"噪音吵醒了睡着的棕熊国王布里诺。他来到动物面前，问:“怎么了？孩子们，是什么让你们没完没了地争吵，快告诉我！”小兔子艾米首先说:“这是一个难题。显然，我的回答是正确的，但他们都说只有他们自己的答案才是最正确的，陛下，您将对此发表评论。”

布里诺好奇地问，“有什么问题吗？快告诉我，也许我可以来为大家解决它。”大鸟愤怒张开他粗糙的喉咙，发出一种非常奇怪的声音。主题如下:四个鸡场A、B、C和D规模不同，总共饲养了10万只鸡。其中，甲农场的鸡比乙农场多2万只，是乙农场的两倍，是丁农场的1/5。甲农场和乙农场分别饲养多少只鸡？

灰兔阿诺认为:由于总共有10万只鸡，总数将平均分成10份。假设游戏B中有一个部分，游戏A中比游戏B中多两个部分是三个部分，游戏B是游戏C的两倍，也就是说，1除以2等于0。五，场c是场d的五分之一，也就是0。5除以1/5等于0。五乘以五等于二。5份，3加1加0。五加二。5等于10，使用比率分布:a: 100000乘以3/10等于30000，b: 100000乘以1/10等于10000，c: 100000除以10等于10000，10000除以2等于5000，d: 5000乘以5等于25000。

松鼠诺是这样想的:每个鸡场的鸡数量是未知的，那么解决方案是:d场X只鸡，c场1X/5只鸡，b场1X/5只鸡，a场2X/5加20000只鸡，X+5x+5x+5x+5x+5x+20000 = 100000，2X+20000=100000，X=40000。因此，a: 40000乘以2/5加上20000等于36000，b: 36000减去20000等于16000，c: 16000除以2等于8000，d: 40000。

听了这么多解释，我还是觉得小松鼠野珍是对的。同时，他也告诉我们一个事实:当我们遇到困难时，我们可以用方程来解决它们。自从布里诺称赞小松鼠诺珍以来，诺珍有了许多绰号:聪明的皇后珍珍博士，高才生下了诺诺。“才女”诺珍。

1.e

相对性它的唯一竞争对手π而言，e就好像刚刚开始的。π因为其可追潮到巴比伦阶段的光辉历史时间而看起来更具有成严，而e却沒有什么地方值得赞叹的历史时间为其增彩。参量心是年青而充满活力的，当涉及到“提高”时，它便会出現。不论是人口数量、钱财或别的的当然总数，他们的提高一直难以避免会涉及到e

e是近似值为2.71828的数，是一个无理数，因而，我们无法了解它的精准标值。

π和e中间的关联十分让人痴迷！e的π次方和π的e次方的值十分贴近，可是大家非常容易证实e的π次方＞π的e次方（不用精准测算他们的标值）。假如应用计算方式算一下，你能发觉他们的近似值为e的π次方＝23．14069，π的e次方＝22．45916。

数字e的π次方更是大家孰知的盖尔范德参量（姓名来源于俄罗斯一位数学家盖尔范德），而且已被证实了是跨越的。可是大家针对π的e次方却了解很少，还没人证实它是无理数（即便它的确是）。

9.解析几何

解析几何给了大家一种全新的处理问題的方法，一种“回转”的演年方式。这类“回转”是“反向思维”的。使我们考虑一下这个问题，当给数字25再加17时，結果将是42。它是正向思维。我们知道这种数，必须做的仅仅把他们加起來。可是，倘若大家早已知道回答42，并明确提出一个不一样的难题，即如今大家要想了解的是啥数和25求和得42。这儿便必须采用反向思维。大家要想了解未知数x的值，它考虑式子25＋x＝42，随后，大家只需将42减掉25便可了解回答。

10.欧几里得算法

花拉子密明确提出了“解析几何”这一专有名词，而且，他在9新世纪有关算数的一本书中明确提出算法”这个词。 algorithm（算法），其音标发音为“ Al Gore rhythm”，这是一个针对一位数学家和电子计算机生物学家十分关键的定义。

最先，算法是一种例行程序。它是一系列命令的编码序列，比如：你做这一件事儿，随后去做这件事儿”。我们可以看得出为何电子计算机很像算法，由于他们十分擅于实行命令，从来不出現一切误差。一些一位数学家们觉得算法是十分枯燥乏味的，由于他们是持续反复的，可是，要写成一个算法并把它译成好几百行包括数学课命令的计算机代码并不是件非常容易的事儿。这里有非常大的风险性造成 十分恐怖的不正确。写成一个算法是一项极具创造力的挑戰。针对同一项每日任务，一般有多种可挑选的方式，而大家理应找到在其中最好是的一种。一些算法将会“不符总体目标”，而一些可能是彻底无高效率的，由于他们在转弯抹角。一些算法将会测算得迅速，可是却造成了不正确的結果。

数学故事——女间谍玛塔·哈雷

德国间谍玛塔·哈雷在巴黎以“舞蹈明星”身份出现，刺探法国军事情报。在她结交的军事和政治领导人中，有一位名叫莫尔根的将军，他已从军队退休，因战争需要被召回陆军部的一个重要职位。这位将军最近因为妻子的去世而感到非常孤独，他渴望去追哈雷。很快，哈利发现将军的机密文件都保存在书房的秘密金库里。然而，这个秘密金库的锁使用了一个拨号盘。只有拨对了号码，保险库的门才能打开。这个号码是严格保密的，只有将军知道。哈雷想:莫尔根老了，有很多事情要做。最近他特别健忘。因此，秘密金库的拨号号码必须记录在笔记本或其他地方，这个地方永远不会难以找到和记住。每当莫尔根睡着时，她都会检查将军口袋里的笔记本和抽屉，但找不到号码。

一天晚上，她让莫尔根喝了含有安眠药的酒，然后蹑手蹑脚地走进书房。已经是半夜两点多了。秘密金库的门嵌在油画后面的墙上。拨号号码是6位数。她一个接一个地从1转到9，但是失败了。看到天空是透明的，女仆会进来打扫书房，哈雷感到有点绝望。突然墙上的挂钟引起了她的注意。她发现自己半夜两点钟来到书房，而挂钟上的指针指向9: 35: 15。这可能是表盘上的数字，否则为什么挂钟不走？但是9: 35: 15应该是93515，只有五个数字。这是怎么回事？经过进一步思考，她终于找到了六个数字，完成了刺探情报的任务。

她是怎么找到它的？

答案是宣布:

哈利认为，如果它被解释为21: 35分15秒，它将变成一个6位数，或213515。

平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合

三个规定：

①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向

②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

1、大熊猫是猫科动物吗？

大家都知道，假如让肉食动物只拔草来吃，他们没多久以后便会被饿死了。这是由于他们沒有用于碾碎草类食物的槽牙，且他们的消化吸收管路较植食性动物而言过短，这类与食草动物彻底反过来的结构，让他们没法消化吸收草并消化吸收在其中的营养成分。很可能还没有等他们消化吸收结束，草就根据他们的肛门口代谢出来。那样下来，他们终究会被活生生饿死了。那麼，肉食动物动物是否也不摄取食物化学纤维了呢？这自然也是不好的。以便维持营养成分均衡，就算是狮子座在某种意义上也必须摄取纤维材料。狮子座是以班马等食草动物为关键食物的，他们一般 最开始吃的便是猎食的内脏器官，例如猎食的胃里，那边就会有许多未被彻底消化吸收的纤维材料。换句话说，狮子座根据捕食食草动物来间接性摄取被食草动物的胃肠消化吸收得类似的纤维材料。

列表法求概率

1、列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

树状图法求概率

1、树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

利用频率估计概率

1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

3、随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

1、必然事件、不可能事件、随机事件的区别

2、概率

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）,记作P（A）=p.

注意：（1）概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

（2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.

3、求概率的方法

（1）用列举法求概率（列表法、画树形图法）

（2）用频率估计概率：一大面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.

分式的加减法则：

法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减

法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；

（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；

（3）运算时顺序合理、步骤清晰；

（4）运算结果必须化成最简分式或整式。

《小虾》一课中小虾的有趣表现在小虾吃东西的姿势，总是用钳子反复碰触食物，再迅速后退，在确认安全后，才放心用两个钳子捧着食物吃。小虾的有趣也表现在小虾吃完东西后的自在模样，有的小虾会紧贴在缸壁上休息。

《小虾》的主要内容

《小虾》用浅显生动的语言，记叙了主角和邻居到溪边摸虾的经历，通过描绘了小虾吃食、打架等细节，表现了小虾的有趣、脾气不好两个特点，表现了作者对小虾的喜爱之情。

《小虾》的原文

院子里的葡萄架下，一口缸闲着，积了大半缸雨水。阳光漏过葡萄架的空隙，洒落在水面上，像许多大大小小的圆镜儿。我想，这不正好用来养小鱼小虾吗?

我和邻居阿成哥跑到村边小溪里，在竹荫下静水处，轻轻把手伸到大石块下，捉到了一些小虾，带回家养在缸里。这些小虾，有的通体透明，像玻璃似的，这是才长大的;有的稍带点灰黑色，甚至背上、尾巴上还积着泥，长着青苔，这是老的，大家叫它千年虾。

小虾真有趣。它们吃东西的时候非常小心，总是先用钳子轻轻碰一下食物，然后迅速后退，接着再碰一下，又后退，直到觉得没有危险了，才用两个钳子捧着食物吃起来。吃饱了的小虾显得十分自在，有的独自游来游去，有的互相追逐，有的紧贴在缸壁上休息。

小虾脾气不好。要是你用小竹枝去动那些正在休息的小虾，它立即向别的安静的角落蹦去，一路上像生了气似的，不停地舞动着前面那双细长的脚，脚末端那副钳子一张一张的，胡须一翘一翘的，连眼珠子也一突一突的。这时，如果碰到正在闲游的同伴，它们就会打起来。小虾的搏斗很猛烈，蹦出水面是常有的事。

我想让它们在水缸里生活得更快乐些，就和阿成哥到小溪里采了一些金鱼草，拾了些石块放在缸里。

有一天，我从缸里捉出几只较大的虾，发现它们腹部藏着许多圆圆的小卵，不久，缸里的小虾真的多了起来。葡萄架上一片落叶掉进缸里，叶子下就会聚着许多小小的虾儿了。

勾股定理最早出自《周髀算经》，这是我国现存最早的一部数学典籍，大约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法。

《周髀算经》简介

《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，也是我国最古老的天文学和数学著作，大约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。

《周髀算经》采用了最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包涵南北有极，昼夜相推的道理。

勾股定理简介

勾股定理又被称为商高定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，勾股定理的证明是论证几何的发端，大大加深了人们对数的理解。

数学故事——未解的数学之谜

数学确实提出了很多问题。事实上，数学和问题是不可分割的。历史已经证明，数学概念已经成为数学问题的催化剂，这反过来又刺激了许多数学概念和数学发现。三个古代不可能的映射问题(1)、柯尼斯堡桥问题(2)和平行公设问题(3)是历史上已经解决的典型问题，在解决它们的过程中激发数学思维、概念和发现。提出数学问题，思考数学问题，仔细阅读答案，证明它们是数学家前进的动力。

这里有一些著名的“未解”数学问题:

突出素数问题

有没有公式或测试方法可以用来确定一个给定的数是否是质数？

有无限对孪生素数吗？一对孪生素数是一对相邻的素数，它们的差是2。例如，3和5，因为5-3 = 2。还有，例如，5和7，11和13，41和43。

奇数完全数的奥秘。如果一个数等于它所有真因子的和，那么这个数就叫做一个完全数(真因子是除了它本身以外的因子)。6是偶数的例子，因为6 = 1+2+3。其他例子有28，496和8128。大约在公元前300年，欧几里德证明了如果2n-1是素数，2n-1 (2n-1)就是一个完全数。然后在18世纪，莱哈德·欧拉证明了任何偶数都必须符合欧几里得公式。例如，8128 = 26 (27-1)。

但是奇数仍然是一个谜。到目前为止，没有人发现奇数完全数，也没有人证明所有完全数都是偶数。

哥德巴赫猜想

每个大于2的偶数都是两个质数的和吗？

1742年，德国数学家克里斯蒂安·歌德巴赫(1690 ~ 1764)给莱哈德·欧拉(1707 ~ 1783)写了一个猜想，即除了2以外，每个偶数都是两个素数的和。例如:4 = 2+2，6 = 3+3，8 = 3+5，10 = 5+5，12 = 7+5。尽管哥德巴赫的猜想被认为是正确的，但还没有人证明它。到目前为止，已经获得了以下结果:1931年，苏联数学家史尼尔曼清楚地证明，任何偶数都可以写成不超过300，000的质数之和——这与两个质数相差太远；伊万·维诺格拉多夫(1891 ~ 1983)证明了所有足够大的奇数都是三个素数之和。1973年，陈景润证明了每个足够大的偶数都是一个素数和一个素数或一个只有两个素数因子的数的和。

地平线:费马大定理

在17世纪，皮埃尔·德·费尔马(1601 ~ 1665)在他的一本书的侧面写道——

不可能将一个立方数分成两个立方数和一个四次方数，或者通常任何大于二的更高次方数分成两个相等的次方数。我当然已经得到了一个很好的证明，但是边缘的位置太窄了，不能写下来。

这个定理可以重述如下:如果n是大于2的自然数，则没有正整数x，y，z使xn+yn = Zn。费马的笔记是一个挑战。几个世纪以来，即使是最杰出的数学家也没能证明或否定它。

下一节将提供额外的背景，并讨论关于费马大定理的最新消息。试图证明费马大定理的一些发现可能比定理本身更重要。

研究未解决的数学思想和探索已知事物一样有趣。这只是数学未解之谜的一小部分。虽然有些问题很简单，可以告诉没有数学背景的人，但他们的解决方案很难。

(1)只能用尺子和圆规解决的三种古代不可能的情况如下:将一个角三等分(将一个角分成三个相等的角)，将立方体加倍(制作一个立方体，使其体积是给定立方体的两倍)，将一个圆变成一个正方形(制作一个正方形，使其面积等于给定的圆)。由这三个问题激发的几个发现是尼可米兹的蛤蜊线、阿基米德螺线和希皮阿斯的切圆曲线。

(2)konigsberg桥问题的要求是找到一条通过七座konigsberg桥的路线，其中任何一座桥只允许通过一次。欧拉在解决这个问题时发展了网络的概念。

(3)平行公设包括确定欧拉第五公设是公设还是定理。证明这一假设的努力导致了非欧洲几何学的发现。

11（2014o丽水，第10题3分），AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）

考点：全等三角形的判定与性质；函数关系式；相似三角形的判定与性质．.

分析：作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．

解答：

解：作FG⊥BC于G，

∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠DBE=90°；

∴∠BDE=∠FEG，

在△DBE与△EGF中

∴△DBE≌△EGF，

∴EG=DB，FG=BE=x，

∴EG=DB=2BE=2x，

∴GC=y﹣3x，

∵FG⊥BC，AB⊥BC，

∴FG∥AB，

CG：BC=FG：AB，

即=，

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，辅助线的做法是解题的关键．

中考数学一模考前冲刺辅导：概率与统计

概率初步的有关概念

(1)必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；

(2)不可能事件是指一定不能发生的事件；

(3)随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；

(4)随机事件的可能性

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.

(5)概率

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P(A)=P.

(6)可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，反之事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.

统计初步的有关概念

总体：所要考查对象的全体叫总体；个体：总体中每一个考查对象.

样本：从总体中所抽取的一部分个体叫总体的一个样本.

样本容量：样本中个体的数目.

样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数.

总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数.

统计学中的基本思想就是用样本对总体进行估计、推断，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分析规律.

数学童话——狐狸买洋葱

狐狸一瘸一拐地走着，不知道如何变得富有。

瘸狐狸看见老山羊在卖葱，就走过去问:“老山羊，你怎么卖葱？有多少葱？”

老山羊说:“一公斤葱花一元卖100公斤。”

跛足的狐狸转动他的眼睛，问:"你有多少葱，多少葱，多少葱叶？"

老山羊不耐烦地说:“一个大葱，20%的葱和80%的葱叶。”

瘸腿狐狸掰下手指算了算，说:“葱，我给你70美分换1公斤。洋葱叶，1公斤等于30美分。七分加三分正好等于一元，好吗？”

老山羊想了一会儿，觉得狐狸说的也有道理，就同意把它卖给他。狐狸笑了笑，开始数钱。

狐狸首先计算出一个公式:0.7×20+0.3×80=14+24=38(元)，然后说:“100公斤大葱，大葱占20%，即20公斤，大葱1公斤70美分，共14元；葱叶占80%，即80公斤、1公斤和30美分，共计24元。总共是38元。是这样吗？”

经过半天的计算，老山羊没有数出数字，所以他不得不说:“你答对了。”

“我狐狸从来不藏！给你38元，数数！”狐狸把钱递给了老山羊。当老山羊卖完洋葱回家时，总觉得钱少了，但钱少在哪里呢？我想不起来了。他低下头，看到小鼹鼠从地上钻了出来。他请小鼹鼠帮忙计算。

小鼹鼠说:“你过去常常把1公斤葱卖到1元钱。你有100公斤，应该卖到100元。为什么这只瘸腿的狐狸只给你38元？”

老山羊点点头，知道他已经吃过苦头了。但是他不明白他是如何受苦的。

鼹鼠说:“狐狸给了你7角1公斤葱和3角1公斤葱叶，相当于2公斤1元钱。你已经失去了一半。”

老山羊问:“如果我丢了一半的钱，我也应该得到50元。我怎么能只有38元？”

摩尔写了一个公式:(1-0.7) × 20+(1-0.3) × 80 = 6+56 = 62(元)。“你在0.3元钱里减掉了1公斤大葱，在6元钱里减掉了20公斤大葱。一公斤葱叶损失0.7元，80公斤损失56元。他们总共只卖了不到62元。”

老山羊转身跑了回来。他看到狐狸在卖洋葱，每公斤卖2元。老山羊二话没说，低下了头，用它的角支撑着瘸腿狐狸的下背，把它推到池塘里。

数学故事——年轻女孩胜过国王

从前有一个穷人，除了他的女儿以外，没有其他亲戚。他们靠别人的施舍生活。这个女儿非常聪明，她教父亲要智慧。

一次，一个穷人向国王请求施舍。国王问他从哪里来，谁教他这么好听的话。穷人回答说是他们的女儿教他们的。于是国王给了他30个蛋，并说:“把它带给你的女儿，告诉她给我从30个蛋里孵出的小鸡。我会奖励她，否则你将是唯一一个要求。”

这个可怜的人哭着回家，把这一切都告诉了他的女儿。我女儿已经猜到鸡蛋煮好了，所以她让父亲睡觉，并告诉他我会处理一切。父亲听了之后就去睡觉了，而女儿拿了一个锅，把水和豆子放进锅里，开始煮豆子。

第二天早上，女儿早早起床，给父亲打电话，告诉他去国王的马车经过的地方耕地。女儿对父亲说:“当车场靠近时，你会说，‘种豆子吧！唉，快犁地吧！上帝保佑这些成熟的豆子迅速发芽。如果国王问，‘煮熟的豆子怎么长？这样，熟鸡蛋怎么能孵出小鸡呢？你就是这样回答他的。”

穷人听了女儿的话，就去路边耕地。他一见到国王，就大声喊道:“唉，快长吧。上帝保佑这些成熟的豆子长得快！”国王停下来:“可怜的人，这太荒谬了。煮熟的豆子如何生长？”"为什么不呢，我亲爱的国王，煮熟的鸡蛋能孵出小鸡吗？"他笑了。

国王立刻明白了，他的女儿显然已经教会了他如何回答这个问题，并且暗暗感激这个女孩的智慧。所以他给了这个可怜的人一袋大米，让他回家。