数学几何思路合集20篇

知识点六、圆与圆的位置关系

重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．

难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．

外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：

内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部

相切：

外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部

内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部

相交：两圆只有两个公共点。

设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．

外离d>r1+r2

外切d=r1+r2

相交│r1－r2│

内切d=│r1－r2│

内含0≤d

（一）统计

统计课程有以下几个关键词。第一，从数据中提取信息，是统计的第一要务。我们围绕着要得到的信息去收集数据，设计整理描述数据的方法，比如说选择不同的图式，无论是直方图、扇形图、折线图，还是其他的图式，都是希望通过它们将信息清晰、准确、直观地反映出来。第二，统计解决问题是靠一个过程来解决的，这个过程包括数据的收集、描述、整理，以及从数据中提取信息，并且用这些信息来说明问题的过程。第三，统计处理问题是一个归纳的过程，特别是在初中阶段，我们不仅要会搜集所有的数据，整个收集过程都是去体现一个归纳的思维，用部分去说明整体，这样才能解决问题。这是解决问题的一种重要的方法，也是一种重要的思维，更是一种重要的推理。

知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离

当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。[来源:Zxxk.Com]

当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。

当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径

切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。

一、整式

单项式和多项式统称整式。

（a）由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

（b）单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。

（c）一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数（注意：常数项的单项式次数为0）

（a）几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

（b）单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数。

（a）整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式。

（b）括号前面是“-”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。

二、同底数幂的乘法

（m，n都是整数）是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：

（a）法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；

（b）指数是1时，不要误以为没有指数；

（c）不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

（d）当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为

（其中m、n、p均为整数）；

e）公式还可以逆用：

（m、n均为整数）

（a）幂的乘方法则：

（m，n都是整数数）是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。

（b）（m、n都为整数）。

（c）底数有负号时，运算时要注意，底数是a与（-a）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a）3化成-a3

（d）底数有时形式不同，但可以化成相同。

（e）要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。

（f）积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n=anbn（n为正整数）。

（g）幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

五、同底数幂的除法

（a）同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即

（a≠0）。

（b）在应用时需要注意以下几点：

（1）法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数，所以法则中a0。

（2）任何不等于0的数的0次幂等于1，即a0=1（a≠0），如100=1，（-2.50=1），则00无意义。

（c）任何不等于0的数的-p次幂（p是正整数），等于这个数的p的次幂的倒数，即

初一数学上册知识点：整式的加减

（a≠0，p是正整数），而0-1，0-3都是无意义的；当a>0时，a-p的值一定是正的，当a

，d）运算要注意运算顺序。

六、整式的乘法

单项式相乘，它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

（a）积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；

（b）相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则；

（c）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

（d）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

（e）单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

（a）单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

（b）运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

（c）在混合运算时，要注意运算顺序。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

（a）多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；

（b）多项式相乘的结果应注意合并同类项；

（c）对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到

七、平方差公式

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即

其结构特征是：

（a）公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

（b）公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

八、完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即

口诀：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

（a）公式左边是二项式的完全平方；

（b）公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

（c）在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现

这样的错误。

九、整式的除法

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

新初三快扫码关注

本网微信公众号

每日推送学习技巧，学科知识点

助你迎接2020年中考！

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

PT2262/2272是台湾普城公司生产的一种CMOS工艺制造的低功耗低价位通用编解码电路，PT2262/2272最多可有12位（A0-A11）三态地址端管脚（悬空，接高电平，接低电平），任意组合可提供531441地址码，PT2262最多可有6位（D0-D5）数据端管脚，设定的地址码和数据码从17脚串行输出，可用于无线遥控发射电路。

编码芯片PT2262发出的编码信号由：地址码、数据码、同步码组成一个完整的码字，解码芯片PT2272接收到信号后，其地址码经过两次比较核对后，VT脚才输出高电平，与此同时相应的数据脚也输出高电平，如果发送端一直按住按键，编码芯片也会连续发射。

当发射机没有按键按下时，PT2262不接通电源，其17脚为低电平，所以315MHz的高频发射电路不工作，当有按键按下时，PT2262得电工作，其第17脚输出经调制的串行数据信号，当17脚为高电平期间315MHz的高频发射电路起振并发射等幅高频信号，当17脚为低平期间315MHz的高频发射电路停止振荡，所以高频发射电路完全收控于PT2262的17脚输出的数字信号，从而对高频电路完成幅度键控（ASK调制）相当于调制度为100％的调幅。

单片机解码思路

红外线经一体化接收模块解码后送到单片机的外部中断0，单片机设置外部中断下降沿触发（即外部中断0为跳变沿触发方式，从高到低的负跳变触发进入中断处理函数进行解码操作）；

首先我们把T0设置为16位定时器模式，工作在定时状态，初始化值为0，在晶振的工作频率为11.0592MHz时计满最大值计数值的时间为：71111us。由于同步码周期与地址数据周期都远小于定时器0的定时时间，所在定时器0正常工作时，是不会溢出的；

T1用作延时，设置其定时为1ms（本示例中没有用到T1功能）；

在EX0=1（外部中断0启动）并且EA=1（使能所有中断）后，当下降沿到来时进入到中断处理函数，T0在TR0的控制下启动与停止计时；

当接收到下降沿后，先判断当前的电平状态，检测到是低电平时则把T0计时器归零开始计数低电平的时间宽度，电平状态发生变化时停止计数。取TH0和TL0之和即可根据该低电平的时间宽度值来识别是否为同步码。只有先识别出同步码，才开始接收后续脉冲数据进行24位解码操作。

判断电平宽度，检测是否为同步码时，事实上超过10ms即有可能为同步码。初步找出同步码后，根据同步码低电平宽度取得宽脉冲低电平宽度值，根据同步码低电平宽度取得窄脉冲低电平宽度值，由上面的PT2262编码格式图可以看出，同步码低电平持续时间是宽脉冲低电平持续时间的32倍，是窄脉冲低电平持续时间的10（或11）倍，后续的24位数据的宽、窄脉冲低电平持续时间宽度进行比较，满足一定的范围时，即可解析出发射端送出的编码。那么实现PT2262解码原理是什么呢？一起来了解一下。

单片机实现PT2262解码原理

1、ASK调制：

“幅移键控”又称为“振幅键控”，也有称为“开关键控”（通断键控），所以又记作OOK信号。ASK是一种相对简单的调制方式。幅移键控（ASK）相当于模拟信号中的调幅，只不过与载频信号相乘的是二进制数码而已。幅移就是把频率、相位作为常量，而把振幅作为变量，信息比特是通过载波的幅度来传递的。二进制振幅键控（2ASK）， 由于调制信号只有0或1两个电平，相乘的结果相当于将载频或者关断，或者接通，它的实际意义是当调制的数字信号为“1”时，传输载波；当调制的数字信号为“0”时，不传输载波。一般载波信号用余弦信号，而调制信号是把数字序列转换成单极性的基带矩形脉冲序列，而这个通断键控的作用就是把这个输出与载波相乘，就可以把频谱搬移到载波频率附近。

2、几个周期：

2.1、时钟周期：也称为振荡周期或晶振周期，定义为时钟频率的倒数，即晶振的振荡频率的倒数，计为：T（时）=1/f（osc）。时钟周期是计算机中最基本的、最小的时间单位。在一个时钟周期内，CPU仅完成一个最基本的动作。对于某种单片机，若采用了1MHZ的时钟频率，则时钟周期为1us。

2.2、状态周期：状态周期是振荡周期的二倍。振荡周期也称为晶振周期，振荡周期是单片机的基本时间单位。振荡脉冲经二分频成为时钟信号，时钟信号的周期称为状态周期。若时钟晶振的振荡频率为fosc，则时钟信号的状态周期Tosc=（1/fosc）*2。（即为振荡频率的倒数的2倍）。例如：晶振频率为12MHZ，则时钟周期Tosc=（1/12us）*2。

2.3、机器周期：单片机的基本操作周期。在计算机中，为了便于管理，常把一条指令的执行过程划分为若干个阶段，每一阶段完成一项工作。例如，取指令、存储器读、存储器写等，这每一项工作称为一个基本操作。一个操作周期内，单片机完成一项基本操作。

2.4、指令周期：执行一条指令所需要的时间，一般由若干个机器周期组成。指令不同，所需的机器周期数也不同。对于一些简单的的单字节指令，在取指令周期中，指令取出到指令寄存器后，立即译码执行，不再需要其它的机器周期。对于一些比较复杂的指令，例如转移指令、乘法指令，则需要两个或者两个以上的机器周期。

综上所述：一个机器周期 = 6个状态周期 = 12个时钟周期。

3、位码：

红外编码波形的基本单位，为分AD（地址码、数据码）位和SYNC（同步码）位，每“位”波形由两个脉冲周期构成，每个脉冲周期含有16个时钟周期。位码使用两个脉冲信号表示一个编码值，其中，两个连续窄脉冲表示编码值“0”；两个连续宽脉冲表示编码值“1”；一个窄脉冲和一个宽脉冲表示“F”，也就是地址码的“悬空”。即每个位码bit用2bit表示：00 或01或10表示0码；11表示1码。

如下图所示，编码芯片PT2262发出的编码信号经过整形电路之后得到的脉冲波形图。由：地址码、数据码、同步码组成。地址码和数据码都用宽度不同的脉冲来表示，两个窄脉冲表示“0”； 两个宽脉冲表示“1”； 一个窄脉冲和一个宽脉冲表示“F”，也就是地址码的“悬空”；同步码为时间较长的低电平间隔，下图为PT2262编码图：

如上图，发射端每发送一次信号都会携带多组编码字码，每段编码字码值相同，二进制值为0B010101010101010100001100，对应的十六进制码值为：0x55550C。从图中可以看出，发送码的周期是相等的，只是脉冲宽度不同（宽脉冲与窄脉冲之比为3:1）。而同步码的低电平时间约为这个周期的8倍。

解码的关键是识别同步码，然后对后面的字码的脉冲宽度进行识别，就可以解出这个编码。PT2262每次发射时至少发射4组字码，每组字码由25个脉冲组成，前24个脉冲为地址和数据，最后一个脉冲和一低电平间隔组成同步码。

因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解要素：

①结果必须是整式

②结果必须是积的形式

③结果是等式

④因式分解与整式乘法的关系：m（a+b+c）

公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：

①系数是整数时取各项最大公约数。

②相同字母取最低次幂

③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

提取公因式步骤：

①确定公因式。

②确定商式。

③公因式与商式写成积的形式。

分解因式注意事项：

①不准丢字母

②不准丢常数项注意查项数

③双重括号化成单括号

④结果按数单字母单项式多项式顺序排列

⑤相同因式写成幂的形式

⑥首项负号放括号外

⑦括号内同类项合并。

新初三快扫码关注

本网微信公众号

每日推送学习技巧，学科知识点

助你迎接2020年中考！

尤希问罗克是否想挖下去。罗科说不要再挖了。小个子男人幸灾乐祸地说，“我说领袖，这个男孩想骗你！”

尤希盯着罗科问道，“你在开玩笑吗？”

罗科笑着说:“报纸上说有125步，但没有指明要去哪个方向。既然我们没有朝岛的方向挖，我们不妨朝岛外的方向走，因为如果我们从一个点沿着直线走，我们总是可以走到两端。”

秋实想了一会儿，认为罗科是对的，于是他命令士兵们用罗科的绳子在岛外测量125次。士兵们不敢怠慢，急忙跑到岛外测量，但当测量达到115次时，他们停下来了，因为此时他们已经到达海边，如果再到外面测量，他们将进入浩瀚的大海。

士兵们来问尤希是否应该到海里去测量。尤希问罗克是否想出海。罗克坚定地说，必须测量到125级台阶！

看到罗科如此坚决，尤实下令继续在海上测量。士兵们不得不向前涉水测量，直到他们到达125步，并在最后放上一根杆子。如何在水中挖掘？罗科告诉士兵们用石头和竹片围成一个圈，然后把圈里的水舀出来。幸运的是，岸边的水不深。十几名士兵开始一起工作，并很快建了一个小水坝来舀水。我开始向下挖掘，当我不到1米深的时候，我遇到了一个坚硬的物体。士兵们小心地把它挖了出来。那是一个大陶瓷罐。瓶子的封口打开了，里面装满了珍珠、钻石和黄金。

尤希和所有在场的人都非常高兴。每个人都欢呼雀跃。尤希把罗克紧紧地抱在怀里，并一再向他表示感谢。

突然，一把黑色的枪指向了尤希的后腰。一个男人喊道，“别动！把所有的财宝都给我！”

数学故事——小熊选择演员

电影导演长颈鹿叔叔和副导演小熊选择了会爬树、会走钢丝、会骑马和骑自行车的猴子作为电影《猴子世界》的演员。

"据了解，郭华山有40只猴子."长颈鹿叔叔对小熊说:“去郭华丛林仔细调查，看看有多少人会爬树，有多少人会走钢丝，有多少人会骑马，还有多少人会骑自行车。”

小熊点头。

“严肃点，小心点！”长颈鹿叔叔再三催促。“我明白了！”小熊答应了，但他心里暗暗笑了，“这只是一件小事，还在唠叨。”

小熊跑了三步两步，直奔郭华山。

当趾高气扬的猴子听到小熊说他们想选择电影演员时，他们争先恐后地一个接一个地表演他们的技能。他们都无能为力。小熊看完表演后注册了一次。调查是严肃的！

小熊回来向长颈鹿叔叔报告:

有20个人会爬树。

有15个人能走钢丝。

有五个人会骑马。

有10个自行车手

“主任叔叔，有一点必须纠正:你说郭华山有40只猴子，但经过我的调查，应该有50只。”小熊严肃地说。

“出问题了！”长颈鹿叔叔摇摇头。“我曾经查过森林王国的户口簿。郭华山只有40只猴子。怎么会有10个以上呢？”

小熊不相信:“叔叔，20加15，5加10等于50。还是错了吗？”

长颈鹿叔叔突然大笑起来。“但你忘了一件事:在计算总数时，你不能简单地把它加起来。”

“不能简单地补充吗？！”小熊呆住了，伸出手去抓他的头皮。

长颈鹿叔叔解释道:“例如，有一只猴子，它有很强的力量和综合技能。他可以爬树、走钢丝、骑马和骑自行车。当你根据这四个项目注册时，你要分别考虑他，所以他在这四个项目中占了一个位置。因此，最终的总数肯定会是三个以上。猴子毕竟是40岁，但你加了10岁。

“哦，我明白了，长颈鹿叔叔！”

“这很好理解！”长颈鹿叔叔笑着问:“你现在打算做什么？”

小熊说:“现在我知道至少有10只猴子有两种或更多种能力。我会再去一趟郭华丛林，挑选一个多才多艺的演员！”

“是的，这次我和你一起去！”长颈鹿叔叔拍拍小熊的肩膀。

中考数学知识点：菱形的性质

菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为()

A.22B.18C.14D.11

考点：菱形的性质

分析：根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠BCA，再根据等角的余角相等求出∠BAE=∠E，根据等角对等边可得BE=AB，然后求出EC，同理可得AF，然后判断出四边形AECF是平行四边形，再根据周长的定义列式计算即可得解.

解答：解：在菱形ABCD中，∠BAC=∠BCA，

∵AE⊥AC，

∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°，

∴∠BAE=∠E，

∴BE=AB=4，

∴EC=BE+BC=4+4=8，

同理可得AF=8，

∵AD∥BC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴四边形AECF的周长=2(AE+EC)=2(3+8)=22.

故选A.

点评：本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，等角的余角相等的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出EC的长度是解题的关键.

三、统计概率教学中的困惑

5．有一些教学中，讨论所谓用概率来讨论公平性的问题这个问题怎么看？

我们并没有给公平在数学上给一个很明确的意思，不太主张在我们这个大量地去来讨论这个问题，现在这些问题问得越来越复杂了。比如说咱们两个人说这有一张票，我们两个人要一张票，只能有一个人去，我们就开始扔硬币，或者说掷一个色子，二四六我就去，这个显得就很公平，因为我们的机会是一样的，你看掷出一三五我去，掷出六他去，就不公平了，但是公平程度应该可能不止在这个概率的问题，还应该有一个得到的好处有多少的问题，比如说咱俩概率都一样，扔出正面你拿走，扔出反面，这有两张票，扔出正面你拿走这个，扔出反面我拿走这个，这两票的价值非常非常不一样，我们俩概率当然相等，但是这个也是不一样。所以这东西我觉得是一个比较复杂的问题，在现实中，所以我觉得没有在这个必要，虽然我们非常主张我们概率的一些应用，包括你在班上组织一些活动，抽签什么的，但是过分地去讨论公平问题。

决定公平的因素是多方面的，其中概率相等是影响公平的一个因素，在不同情况下，影响公平的主要因素是谁，我们要清楚，也许并不一定是概率相等不相等是主要因素，如果两张票的面额不一样，那么你这个概率相等不相等的作用就没有那么大了，所以公平是一个相对复杂一点的问题，如果我们老师一定愿意用这样的一个情景来理解概率，一定要界定清楚，让学生体会到，在这个情景中，这个概率是起了主要作用的，而不要让学生产生误解，只有概率是决定公平性唯一标准，那么这样就误导了学生的理解。

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

面积公式：

（1）S＝ah/2

(2).已知三角形三边a，b，c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形两边a，b，这两边夹角C，则S＝1/2*absinC

(4).设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r

S=(a+b+c)r/2

(5).设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R

S=abc/4R

(6).根据三角函数求面积：

S=absinC/2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注：其中R为外切圆半径。

这套房屋装修的特点是颜色被运用的特别生动自如，是一套堪称室内“色”的诱惑的经典之作！红色背景墙非常漂亮。

首先进入长而窄的玄关，除了顶和地的，整个玄关空间被黄色与红色包裹，墙面全粉刷上了柠檬黄色的墙漆，而几何感造型的衣帽架全部刷成了红色，红、黄的巧妙搭配，给进门的第一个区域就给渲染上活力四射的明媚感，心情顿时愉悦。

除了用色，玄关还有两大亮点，第一是收纳，衣帽架尤为别致，除了一般的挂钩功能，中间镂空部分还能收纳阳伞;收纳柜采用挂壁型，很好的节约了空间。第二大亮点是玄关的光源，除了挂壁柜上的球星装饰灯，点亮空间，顶部的三角形壁灯很奇妙的将黄色墙壁加倍提亮，是整个玄关十分亮堂。

这个角度看见了公寓中最最独特的背景墙，其独特之处在于将简简单单的书墙以艺术形态展现，轻轻几个转角弧度的打造，书架被赋予了艺术生命力。一旁的双重红白几何墙饰，及时的拯救了右端空白的红墙。

几何造型的组合沙发，外形可爱、时尚，颇具现代感。并没有全部运用黄色，很巧妙的植入2只灰色方形沙发，避免的色彩过于单一，增加了层次感。

白色的矮茶几也是几何造型，难以定夺的形态，有点三角形又有点六边形，很好的保留了三角形的玲珑状态和六边形的多面状态，增加了茶几的人性化。茶几上的一盏白色球型灯，宛如一颗璀璨的夜明珠。

数学童话

说到圆周率，铁旦想起了伟大的数学家祖冲之。铁丹对时间之鹰说，他想见见祖冲之。

时间之鹰说:“祖冲之是南北朝时期的一位数学家。他生于429年，死于500年。让我带你去见他。”

老鹰降落在一个小镇上。蒂丹问，“这是哪个城市？”老鹰告诉他，这是江苏省镇江市。

铁丹想在1500年前游览镇江，并独自在城里漫步。街道两边有许多商店，人们都很忙。蒂丹走上一座小桥，突然一个年轻人冲了过来。他边走边看书，可能是因为他的眼睛不好。这本书离他的眼睛很近。

他的脸被书挡住了，他看不见前面的路。

“咚”，铁蛋和那个年轻人撞了个正着。铁蛋倾斜着扑通一声掉进了河里。铁蛋是“陆地生物”，不会游泳。他在河里大叫，“救命！”几个过路人救出了铁蛋。正在读书的年轻人赶紧跑去道歉:“对不起，请到我家来换些干衣服，休息一下。”

铁丹摇摇头说:“不，我要去拜访伟大的数学家祖冲之！”

“祖冲之？”年轻人惊呆了，笑着说:“还是去我家找祖冲之好！”“为什么？”铁蛋也一愣。

年轻人说:“祖冲之是我的父亲。”

“啊，你是伟大的数学家祖宣！不尊重，不尊重！”铁蛋抓住年轻人的手，使劲摇了摇。

年轻人好奇地问，“你怎么认识我的？我不是一个伟大的数学家。”

蒂丹笑着说，“你现在还年轻。几年后你将成为一名著名的数学家！”

几句话把祖轩弄糊涂了。

铁丹跟着祖轩回家，遇到了祖冲之。祖冲之生气地问祖宣:“你又是边走边看书吗？”祖轩低头不语。

祖冲之对铁丹说:“宝贝，你害怕了。祖轩有个很严重的问题。几天前，他正沿着马路看书，他碰到了一棵大树。铁蛋听着“吭哧吭哧”直乐。

蒂丹说，“你能给我讲讲圆周率吗？”

初中几何公式定理

线

1、同角或等角的余角相等

2、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

3、过两点有且只有一条直线

4、两点之间线段最短

5、同角或等角的补角相等

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

10、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

11、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

12、定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

13、定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

14、定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

15、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

初中几何公式定理

角

16、同位角相等，两直线平行

17、内错角相等，两直线平行

18、同旁内角互补，两直线平行

19、两直线平行，同位角相等

20、两直线平行，内错角相等

21、两直线平行，同旁内角互补

22、定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

23、定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

24、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

初中几何公式定理

三角形

25、定理三角形两边的和大于第三边

26、推论三角形两边的差小于第三边

27、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

28、推论1直角三角形的两个锐角互余

29、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

30、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

31、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c

32、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形

初中几何公式定理

等腰、直角三角形

33、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等

34、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

35、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合

36、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

37、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

38、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

39、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

40、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

41、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

初中几何公式定理

相似、全等三角形

42、定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

43、相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)

44、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

45、判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

46、判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

47、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

48、性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

49、性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

50、性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

51、边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

52、角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

53、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

54、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等

55、斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

56、全等三角形的对应边、对应角相等

初中几何公式定理

四边形

57、定理四边形的内角和等于360°

58、四边形的外角和等于360°

59、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

60、推论任意多边的外角和等于360°

61、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

62、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

63、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

64、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

65、平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

66、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

67、平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

68、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

初中几何公式定理：矩形

69、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

70、矩形性质定理2矩形的对角线相等

71、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

72、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

初中几何公式：菱形

73、菱形性质定理1菱形的四条边都相等

74、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

75、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2

76、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

77、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

初中几何公式定理

正方形

78、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

79、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

80、定理1关于中心对称的两个图形是全等的

81、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

82、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

初中几何公式定理

等腰梯形

83、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

84、等腰梯形的两条对角线相等

85、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

86、对角线相等的梯形是等腰梯形

初中几何公式

等分

87、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

88、推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

89、推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

90、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

91、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h

92、(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

93、(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

94、(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么，(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

95、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

96、推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

97、定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

98、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

初中几何公式

圆

101、圆是定点的距离等于定长的点的集合

102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104、同圆或等圆的半径相等

105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109、定理不在同一直线上的三个点确定一条直线

110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111、推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112、推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115、推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117、推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118、推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

119、推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120、定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121、①直线L和⊙O相交d﹤r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d﹥r

122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124、推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125、推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127、圆的外切四边形的两组对边的和相等

128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131、推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133、推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135、①两圆外离d﹥R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)④两圆内切d=R-r(R﹥r)⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137、定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138、定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141、正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长

142、正三角形面积√3a/4a表示边长

143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144、弧长计算公式：L=nπR/180

145、扇形面积公式：S扇形=nπR/360=LR/2

146、内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

轴对称(1)

(一)轴对称图形

1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．

注：在学生经历了一系列的过程后让学生尝试归纳，这本身也是一种能力的培养和对轴对称的理解．教学中应该有意识地加以渗透．

2．结合教科书第118页图12.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．

3．学生举例：试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．

4．概念应用：(1)教科书第119页练习；

数学故事——破译密码

在追捕嫌疑犯的过程中，黑猫警长发现了一张写有电话号码的纸，被嫌疑犯丢弃了。上面写着“电话号码:38796”和以下公式:

3×3=38×7=87×7×7=6(8+7+3)×9=39

在侦察过程中，黑猫警长进一步了解到公式中使用的符号“+、-、×、()、=”与通常意义相同，进位为十进制。虽然每个数字都是用和我们一样的方式书写的，但是它所代表的数字是不同的。结果，黑猫警长很快破译了电话号码。小朋友，你能破译这个密码吗？

思考与解决方法:根据黑猫警长对“+、-、×、、()、=”和数字的侦察知识，推导并分析了几个公式:⑴3×3=3，如果被乘数和乘积是同一个值，只有1×1=1，也就是说，“3”表示1；⑵8×7=8。有两种可能使被乘数和乘积等于相同的数值:8×1=8或0×7=0。然而，“8”只能代表0，因为“所代表的数字是不同的”，也就是说，“8”不能代表8；(3) 7× 7× 7 = 6，三个相同的单个数字的乘积仍然是一个单个数字，有两种可能:1×1×1=1或2×2×2=8，但“7”和“6”代表不同的数字，所以“7”只能代表2，“6”只能代表8；(4) (8+7+3) × 9 = 39。从前面的推导可知，“8”代表0，“7”代表2，“3”代表1，然后有(0+2+1)ד9”= 1“9”，3ד9”= 1“9”，数字乘以3等于这个数。显然，“9”意味着5。因此，电话代码38796被解码为10258。

这里有四轮计算。请根据每轮计算的阴影示例，在空白处正确填写数字。

在图1中，第一个圆的数目减去第二个圆的数目就是第三个圆的数目。例如，211 = 10。

在图2中，第一个圆的数量加上第二个圆的数量之和是内圆的数量。例如，16+4 = 20。

在图3中，内圆的4乘以第二个圆的数的乘积是外圆的数。例如，4x3 = 12。

在图4中，填充了六个数字，并且三个数字在一条直线上的总和总是69。例如，3+23+43 = 69。

孩子们，现在你们明白了每个计算轮的计算规则了！

数学故事——充满爱的“2”

自然系列中的第二个是“2”。“2”是一个神奇的数字。

有人说“2”是一个充满爱的数字，因为它是一个“偶数”，意思是成对的。“偶数”也叫“偶数”。在古代散文中，“甚至”这个词的意思是成双成对。

被2整除的数字是偶数。

偶数“2”是非常特殊的，除了1和它本身，它没有其他的正除数，所以“2”又是质数，而且是偶数中唯一的质数。这是一个偶数，也是素数世界中唯一的偶数。“2”的魔力还在于日常生活中的频繁相遇。例如，货币有2美分、2美分和2元。人们也习惯成对数物体。

“2”作为二进制“二进制数”在电子计算机中被广泛使用，而“2”的作用甚至更为宽容？

某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？

解：（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72

解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，则0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。