数学二次函数试题【合集20篇】

一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

二次函数试题

考点1：二次函数的图象和性质

一、考点讲解：

1.二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数为二次函数.

2.二次函数的图象及性质：

⑴二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a

注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。

3.图象的平移：将二次函数y=ax2(a≠0)的图象进行平移，可得到y=ax2+c，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象.

⑴将y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c

⑵将y=ax2的图象向左(h0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h)2的图象.其顶点是(h，0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.

⑶将y=ax2的图象向左(h0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k

注意：二次函数y=ax2与y=-ax2的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。

一、经典考题剖析：

【考题1】.抛物线y=-4(x+2)2+5的对称轴是______

解：x=-2点拨：抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴为x=h.

【考题2】函数y=x2-4的图象与y轴的交点坐标是()

A.(2，0)B.(-2，0)

C.(0，4)D.(0，-4)

解：D点拨：函数y=x2-4的图象与y轴的交点的横坐标为0，x=0时，y=-4，故选D.

函数的概念

1．常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量．

2．函数：在某一变化过程中的两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就叫做x的函数，其中x做自变量，y是因变量．

(1)自变量取值范围的确定

①整式函数自变量的取值范围是全体实数．

②分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数．

③二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义．

(2)函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值．

3．函数常用的表示方法：解析法、列表法、图象法．由函数的解析式作函数的图象，一般步骤是：列表、描点、连线．

10（2014o湖北黄石,第10题3分）AB是半圆O的直径，点P从点A出发，沿半圆弧AB顺时针方向匀速移动至点B，运动时间为t，△ABP的面积为S，则下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是（）

考点：动点问题的函数图象．

分析：根据点P到AB的距离变化，利用三角形的面积分析解答即可．

解答：解：点P在弧AB上运动时，随着时间t的增大，点P到AB的距离先变大，

当到达弧AB的中点时，最大，

然后逐渐变小，直至到达点B时为0，

并且点P到AB的距离的变化不是直线变化，

∵AB的长度等于半圆的直径，

∴△ABP的面积为S与t的变化情况相同，

点评：本题考查了动点问题的函数图象，读懂题目信息，理解△ABP的面积的变化情况与点P到AB的距离的变化情况相同是解题的关键．

中等题

10．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()

A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3

11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3-4-13，给出下列结论：①2a＋b＞0；②b＞a＞c；③若－1＜m＜n＜1，则m＋n＜－ba；④3|a|＋|c|＜2|b|.其中正确的结论是____________(写出你认为正确的所有结论序号)．

12．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.

(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式；

(2)当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；

(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

答案：

10．B 11.①③④

12．解：(1)将点O(0,0)代入，解得m＝±1，

二次函数关系式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x.

(2)当m＝2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

∴D(2，－1)．当x＝0时，y＝3，∴C(0,3)．

(3)存在．接连接C，D交x轴于点P，则点P为所求．

由C(0,3)，D(2，－1)求得直线CD为y＝－2x＋3.

当y＝0时，x＝32，∴P32，0.

什么是高三数学函数解题方法?今天小编为大家推荐高三数学函数解题方法，希望大家在学习的路上越来越好。

高考数学五大主要解题思路

高考数学解题思想一：函数与方程思想

函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。

高考数学解题思想二：数形结合思想

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

高考数学解题思想三：特殊与一般的思想

用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。

高考数学解题思想四：极限思想解题步骤

极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。

高考数学解题思想五：分类讨论思想

我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。

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高三数学函数解题方法是什么

一.观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，

故3+√(2-3x)≥3。

∴函数的知域为.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)

二.反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y1｝)

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

四.判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y>0)。

五.值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()

A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)

(答案：D)。

六.图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

点拨：根据值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为-2x+1(x≤1)

y=3(-1

2x-1(x>2)

它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

七.单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)

八.换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1(t≥0),则

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝

二、例题分析：

例4、如图，锐角三角形ABC的边长BC＝6，面积为12，P在AB上，Q在AC上，且PQ∥BC，正方形PQRS的边长为x，正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y。

（1）当SR恰落在BC上时，求x，

（2）当SR在△ABC外部时，求y与x间的函数关系式；

（3）求y的最大值。

略解：（1）由已知，△ABC的高AD=4。

∵△APQ∽△ABC，（如图一）

设AD与PQ交于点E ∴

∴

∴

(2)当SR在△ABC的外部时，同样有，

则，即AE=

∴y=ED·PQ＝x（4-）=-2+4x（）

（3）∵a=-

∴当x=3时,y取得最大值6.

说明:此例将线段PQ的长设为x,正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积设为y,寻找它们之间的函数关系.注意自变量的取值范围;在y取最大值时,要注意顶点(3,6)的横坐标是否在取值范围内.

31.如何知道“功能”？

在小学数学教科书中，函数的概念并没有被提及，只是通过一些例题和计算问题，让学生初步体会到量与量之间的依赖和变化规律，并把“函数”的思想渗透到学生身上。例如:

在左集合中的数字加上9之后，在右集合中得到相应的结果。在这组加法问题中，一个加法数“9”是常数，而另一个加法数变化，所以它们的和也变化。这意味着“和”将随着“加数”的变化而变化。

在从左边集合中的数字减去8之后，得到右边集合中的相应结果。在这组减法问题中，减数“8”是常数，而被减数是变化的，所以它们的差也是变化的，也就是说，“差”随着被减数的变化而变化。有时，“差异”也随着“减数分裂”而改变。

另一个有趣的教具是功能装置(如图所示)。

首先，确定一个乘数“5”，并将其固定在功能单元上。在左边，一个学生将不同的数字卡放入功能单元。在右边，一个学生在口头计算后拿出相应的产品数字卡。做这种计算游戏，让学生认识到计算的结果随着已知数的变化而变化，并有一定的规律。

通过像上面提到的那样分组计算一些数学问题，学生可以进一步认识到事物是不断变化的，同时，事物是相互联系的，变化是有规律的。它也激励学生不要认为事情是孤立的和不可改变的。

二、填空题

6（2014o江西抚州，第8题，3分）一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其主视图如图所示.小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是

解析：∵桶口的半径是杯口半径的2倍，∴水注满杯口周围所用时间是注满杯子所用时间的3倍，

7．（2014山东济南，第12题，3分），直线与轴，轴分别交于两点，把沿着直线翻折后得到，则点的坐标是

【解析】连接，由直线可知,故,点为点O关于直线的对称点,故，是等边三角形，点的横坐标是长度的一半，纵坐标则是的高3，故选A．

8．（2014o四川内江，第12题，3分），已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（）

考点：一次函数图象上点的坐标特征．

专题：规律型．

分析：根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．

解答：解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1

作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，

∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，

则B1（1，2），

同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，

则B2（2，4），

B3（2，6）…

∵A1B1∥A2B2，

∴△A1B1P1∽△A2B2P1，

∴=，

∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为：1：2，

∴A1B1边上的高为：，

∴=××2==，

同理可得出：=，=，

∴Sn=．

点评：此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．

9（2014o四川广安,第9题3分）在△ABC中，AC=BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（）

考点：动点问题的函数图象

分析：该题属于分段函数：点P在边AC上时，s随t的增大而减小；当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小；当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．

解答：解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．

∵在△ABC中，AC=BC，

∴AD=BD．

①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误；

②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；

③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等于零．故C错误；

④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．

点评：本题考查了动点问题的函数图象．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．

二、例题分析：

例1．已知P(m,n)是一次函数y=-x+1图象上的一点，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1，问点N(m+1,n-1)是否在函数y=-图象上。

分析：P(m,n)是图象上一点，说明P(m,n)适合关系式y=-x+1，代入则可得到关于m,n的一个关系，二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根，则x1+x2=-m,x1x2=n,由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到关于m,n的一个关系，两个关系联立成方程组，可解出m,n，这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见。

解：∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上，

∴n=-m+1,∴m+n=1.

设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,

∴x12+x22=1,

又∵x1+x2=-m,x1x2=n,

∴(x1+x2)2-2x1x2=1,即m2-2n=1

由解这个方程组得：或。

把m=-3,n=4代入x2+mx+n=0,

x2-3x+4=0,Δ

∴m=-3,n=4(舍去).

把m=1,n=0代入x2+mx+n=0,

x2+x=0,Δ>0

∴点N（2，-1），

把点N代入y=-,当x=2时，y=-3≠-1.

∴点N（2，-1）不在图象y=-上。

说明：这是一道综合题，包括二次函数与一次函数和反比例函数，而且需要用到代数式的恒等变形，与一元二次方程的根与系数关系结合，求出m、n值后，需检验判别式，看是否与x轴有两个交点。当m=-3,n=4时，Δ

二次函数的概念

1、二次函数的概念

一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

确定函数定义域的方法

(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数;

(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;

(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;

(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;

(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;

(2)将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程

(3)解方程得出未知系数的值;

(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

1、反比例函数的概念

一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例函数k的符号k>0k

y的取值范围是y0；

②当k>0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y

随x的增大而减小。

①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0；

②当k

在第二、四象限。在每个象限内，y

随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、的几何意义

设是反比例函数图象上任一点，过点P作轴、轴的垂线，垂足为A，则

（1）△OPA的面积．

（2）矩形OAPB的面积。这就是系数的几何意义．并且无论P怎样移动，△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。

在高等数学中，我们会先学到显函数，显函数大多是自变量的某个算式，当然我们也会接触到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的，通常称为隐函数，那么隐函数如何求导呢？一起来学习一下吧！

操作方法

在学习隐函数求导之前，首先来了解一下这两句话。

1、一个二元函数对应一个二元方程。

2、二元方程决定一元隐函数。

首先我们先看隐函数的一阶导怎么求，如下图所示。

隐函数的二阶导，如下图所示。

综上所述，隐函数的一阶导：如下图所示。

隐函数的二阶导为：如下图所示。

特别提示

这就是隐函数的求导，你学会了吗？

二、例题分析：

例5．（潍坊市中考题）某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图一）作成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图二所示的坐标系进行计算。

（1）求该抛物线的解析式；（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度。

分析：图中给出了一些数量，并已经过护栏中心建立了平面直角坐标系，所以求二次函数的解析式关键是找到一些条件建立方程组。因为对称轴是y轴，所以b=0,可以设二次函数为y=ax2+c.

解：（1）在如图所示坐标中，设函数解析式为y=ax2+c,B点坐标为（0,0.5），C点坐标为（1，0）。

分别代入y=ax2+c得：

，解得

抛物线的解析式为：y=-0.5x2+0.5

（2）分别过AC的五等分点，C1，C2，C3，C4，作x轴的垂线，交抛物线于B1，B2，B3，B4，则C1B1，C2B2，C3B3，C4B4的长就是一段护栏内的四条立柱的长，点C3，C4的坐标为（0.2，0）、(0.6,0)，则B3，B4点的横坐标分别为x3=0.2,x4=0.6.

将x3=0.2和x4=0.6分别代入

y=-0.5x2+0.5得y3=0.48,y4=0.32

由对称性得知，B1，B2点的纵坐标：y1=0.32,y2=0.48

四条立柱的长为：C1B1=C4B4=0.32（m）

C2B2=C3B3=0.48（m）

所需不锈钢立柱的总长为

(0.32+0.48)×2×50=80(m)。

答：所需不锈钢立柱的总长为80m。

拔尖题

13．已知抛物线y＝1a(x－2)(x＋a)(a＞0)与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

(1)若抛物线过点M(－2，－2)，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，解答下列问题；

①求出△BCE的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH＋EH的值最小，直接写出点H的坐标．

14．已知二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1

(1)求证：n＋4m＝0；

(2)求m，n的值；

(3)当p>0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

15．在平面直角坐标系中，顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点，交x轴与B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，－5)．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明；

(3)在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：

13．解：(1)将M(－2，－2)代入抛物线解析式，得

－2＝1a(－2－2)(－2＋a)，

解得a＝4.

(2)①由(1)，得y＝14(x－2)(x＋4)，

当y＝0时，得0＝14(x－2)(x＋4)，

解得x1＝2，x2＝－4.

∵点B在点C的左侧，∴B(－4,0)，C(2,0)．

当x＝0时，得y＝－2，即E(0，－2)．

∴S△BCE＝12×6×2＝6.

②由抛物线解析式y＝14(x－2)(x＋4)，得对称轴为直线x＝－1，

根据C与B关于抛物线对称轴x＝－1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求．

设直线BE的解析式为y＝kx＋b，

将B(－4,0)与E(0，－2)代入，得－4k＋b＝0，b＝－2，

解得k＝－12，b＝－2.∴直线BE的解析式为y＝－12x－2.

将x＝－1代入，得y＝12－2＝－32，

则点H－1，－32.

14．(1)证明：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，

∴抛物线的对称轴为x＝2，即－n2m＝2，

化简，得n＋4m＝0.

(2)解：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜0＜x2，

∴OA＝－x1，OB＝x2，x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm.

令x＝0，得y＝p，∴C(0，p)．∴OC＝|p|.

由三角函数定义，得tan∠CAO＝OCOA＝－|p|x1，tan∠CBO＝OCOB＝|p|x2.

∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，即－|p|x1－|p|x2＝1.

化简，得x1＋x2x1?x2＝－1|p|.

将x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm代入，得－nmpm＝－1|p|化简，得?n＝p|p|＝±1.

由(1)知n＋4m＝0，

∴当n＝1时，m＝－14；当n＝－1时，m＝14.

∴m，n的值为：m＝14，n＝－1(此时抛物线开口向上)或m＝－14，n＝1(此时抛物线开口向下)．

(3)解：由(2)知，当p＞0时，n＝1，m＝－14，

∴抛物线解析式为：y＝－14x2＋x＋p.

联立抛物线y＝－14x2＋x＋p与直线y＝x＋3解析式得到－14x2＋x＋p＝x＋3，

化简，得x2－4(p－3)＝0.

∵二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点，

∴一元二次方程根的判别式等于0，

即Δ＝02＋16(p－3)＝0，解得p＝3.

∴y＝－14x2＋x＋3＝－14(x－2)2＋4.

当x＝2时，二次函数有最大值，最大值为4.

15．解：(1)设此抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋4，

此抛物线过点A(0，－5)，

∴－5＝a(0－3)2＋4，∴a＝－1.

∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋4，

即y＝－x2＋6x－5.

(2)抛物线的对称轴与⊙C相离．

证明：令y＝0，即－x2＋6x－5＝0，得x＝1或x＝5，

∴B(1,0)，C(5,0)．

设切点为E，连接CE，

由题意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.

∴ABBC＝OBCE，即12＋524＝1CE，

解得CE＝426.

∵以点C为圆心的圆与直线BD相切，⊙C的半径为r＝d＝426.

又点C到抛物线对称轴的距离为5－3＝2，而2>426.

则此时抛物线的对称轴与⊙C相离．

(3)假设存在满足条件的点P(xp，yp)，

∵A(0，－5)，C(5,0)，

∴AC2＝50，

AP2＝(xp－0)2＋(yp＋5)2＝x2p＋y2p＋10yp＋25，CP2＝(xp－5)2＋(yp－0)2＝x2p＋y2p－10xp＋25.

①当∠A＝90°时，在Rt△CAP中，

由勾股定理，得AC2＋AP2＝CP2，

∴50＋x2p＋y2p＋10yp＋25＝x2p＋y2p－10xp＋25，

整理，得xp＋yp＋5＝0.

∵点P(xp，yp)在抛物线y＝－x2＋6x－5上，

∴yp＝－x2p＋6xp－5.

∴xp＋(－x2p＋6xp－5)＋5＝0，

解得xp＝7或xp＝0，∴yp＝－12或yp＝－5.

∴点P为(7，－12)或(0，－5)(舍去)．

②当∠C＝90°时，在Rt△ACP中，

由勾股定理，得AC2＋CP2＝AP2，

∴50＋x2p＋y2p－10xp＋25＝x2p＋y2p＋10yp＋25，

整理，得xp＋yp－5＝0.

∵点P(xp，yp)在抛物线y＝－x2＋6x－5上，

∴yp＝－x2p＋6xp－5，

∴xp＋(－x2p＋6xp－5)－5＝0，

解得xp＝2或xp＝5，∴yp＝3或yp＝0.

∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)

综上所述，满足条件的点P的坐标为(7，－12)或(2,3)．

函数多种多样，但用法都一样，都是为了求值域。我根据自己的学习经验和一些资料，总结了些方法，希望能够和你们一起分享一起学习，如果你们有更多更好的方法希望也可以分享给我哦，大家互帮互助一起加油！

操作方法

直接法（观察法）。

配方法。

反函数法。

分离变量法。

换元法。

判别式法。

函数的单调性法。

有界性法。

图像法。

高一数学函数倍角公式是什么呢？小编这里带大家了解一下。

操作方法

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB?

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)?

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

双曲函数 sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

和差化积

sin(a)+sin(b)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

sin(a)-sin(b)=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

cos(a)+cos(b)=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]