初一数学一元一次方程知识点总结【汇集20篇】

为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：

(1）直接存入一个6年期；

(2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；

一年2.25

三年2.70

六年2.88

(3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？

[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。

解：(1）设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程

X（1+6×2.88%）=20000，解得X=17053

(2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，

Y（1+2.7%×3）(1+2.7%×3）=20000，X=17115

(3）设存入一年期本金为Z元，

Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894

所以存入一个6年期的本金最少。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？

解：（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72

解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，则0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

初一数学一元一次方程应用题

知能点2：方案选择问题

8.小刚为书房买灯。现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦的节能灯，售价为49元/盏，另一种是40瓦的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到2800小时。已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元。

(1).设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。（费用=灯的售价+电费）

(2).小刚想在这种灯中选购两盏。假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时。请你设计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由。

某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？为什么？

解：方案一：获利140×4500=630000（元）

方案二：获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）

方案三：设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨

依题意得=15解得x=60

获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）

因为第三种获利最多，所以应选择方案三。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

运用代入法、加减法解二元一次方程组要注意的问题：

(1)当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，用代入法比较简单；

(2)若方程组中一个未知数的系数为1(或－1)时，选择这个方程进行变形，用代入法比较简便；

(3)当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，进行加减消元比较方便；

(4)若两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成(3)的类型，选择加减

消元法比较简便；

(5)若两个方程中，同一个未知数的系数的绝对值都不相等，那么，应选出一组系数(选最小公倍数较小

的一组系数)，求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等

(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元；

(6)对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母、去括号、合并同类项等)。通常要把每个方程

整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑。

一元一次方程是同学们开始接触的最简单的方程，也是不少初一同学数学学习的难点之一，而这个难点并不是解方程，而是列出正确的方程。

其实列方程和解方程的主要目的就是解决实际问题，脱离的这一点，方程本身也就没有什么意义了，因此，一元一次方程的应用也成为了初一数学的主要考点。

列一元一次方程解应用题的一般步骤为：

1.审题

2.设元

3.列方程

4.解方程

5.检验

6.答题

一元一次方程常见的应用问题如下：

1.和、差、倍、分问题

2.行程问题

3.工程问题

4.数字问题

5.市场经济问题

6.储蓄问题

7.盈亏问题

8.配套问题

9.图表问题

10.几何问题

知道了列方程的步骤，也了解了常考的问题，那么怎么才能列出正确的方程呢？来看看黄老师的讲解吧，巧用“辅助元”，解决一元一次方程的应用，非常细致全面哦~

本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣，所以要注意引导学生从身边的问题研究起，进行有效的数学活动和合作交流，让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能力，体会数学思想方法。

一、目标与要求

1.通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；

2.初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；

3.培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。

二、重点

从实际问题中寻找相等关系；

建立列方程解决实际问题的思想方法，学会合并同类项，会解"ax+bx=c"类型的一元一次方程。

三、难点

从实际问题中寻找相等关系；

分析实际问题中的已经量和未知量，找出相等关系，列出方程，使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法。

四、知识框架

五、知识点、概念总结

1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。

2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。

3.条件：一元一次方程必须同时满足4个条件：

（1）它是等式；

（2）分母中不含有未知数；

（3）未知数最高次项为1；

（4）含未知数的项的系数不为0。

4.等式的性质：

等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。

等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。

等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。

解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。

5.合并同类项

（1）依据：乘法分配律

（2）把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项；常数计算后合并成一项

（3）合并时次数不变，只是系数相加减。

6.移项

（1）含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。

（2）依据：等式的性质

（3）把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。

7.一元一次方程解法的一般步骤：

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

一般解法：

（1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；

（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（记住如括号外有减号的话一定要变号）

（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号

（4）合并同类项：把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

（5）系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.

8.同解方程

如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

9.方程的同解原理：

（1）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

（2）方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

10.列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法：……多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。

（2）画图分析法：……多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。

11.列方程解应用题的常用公式：

12.做一元一次方程应用题的重要方法：

（1）认真审题（审题）

（2）分析已知和未知量

（3）找一个合适的等量关系

（4）设一个恰当的未知数

（5）列出合理的方程（列式）

（6）解出方程（解题）

（7）检验

（8）写出答案（作答）

一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题，相遇问题、逆流顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。

新初三快扫码关注

本网微信公众号

每日推送学习技巧，学科知识点

助你迎接2020年中考！

数学是令很多同学头疼的一个科目，下面就来介绍一下初一数学上册知识点：有理数。

操作方法

有理数是一个整数和一个不为零的整数之比，也就是分数的形式，分数的分母不为零。

整数和分数都是有理数，包括正整数、负整数、正分数、负分数，还有0。

要清楚区别有理数集和有理数，这两个是完全不同的概念，有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数是有理数集中的所有元素。

两个有理数比大小只需要画一条数轴，数轴右边的数总比左边的数大。

某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅。经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐。

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐。

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。

解：（1）设1个小餐厅可供y名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意得：

2（1680-2y）+y=2280

解得：y=360（名）

所以1680-2y=960（名）

（2）因为960×5+360×2=5520＞5300，

所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

知识概述

解一元一次方程的一般步骤

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．

列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；

（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；

（3）根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；

（4）解这个方程，求出未知数的值；

（5）检验方程的解是不是符合应用题题意的解；

（6）写出答案（包括单位名称）

1．二元一次方程的整数解的求法：

一般情况下，一个二元一次方程都有无数个整数解，解这类问题时，先用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后根据条件逐一求出相应的解。

2．判断二元一次方程组的方法：

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组，判断一个方程是不是二元一次方程组，就看它是否满足以下两个条件：(1)看整个方程组里含有的未知数是不是两个；(2)看含未知数的项的次数是不是1。

3．检验一对数是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法是：

将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；否则，如果这对数值不满足其中的任何一个方程，那么它就不是此方程组的解。

二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

教学目的

1．了解一元一次方程的概念。

2．掌握含有括号的一元一次方程的解法。

重点、难点

1．重点：解含有括号的一元一次方程的解法。

2．难点：括号前面是负号时，去括号时忘记变号。

教学过程

一、复习提问

1．解下列方程：

（1）5x－2＝8（2）5+2x＝4x

2．去括号法则是什么？“移项”要注意什么？

二、新授

一元一次方程的概念

如44x+64＝3283+x＝（45+x）y－5＝2y+l问：它们有什么共同特征？

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是l，这样的方程叫做一元一次方程。

例1．判断下列哪些是一元一次方程

x＝3x－2x－＝－l

5x2－3x+1＝02x+y＝l－3y＝5

例2．解方程（1）－2（x－1）＝4

（2）3（x－2）+1＝x－（2x－1）

强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项，若括号前面是“－”号，注意去掉括号，要改变括号内的每一项的符号。

补充：解方程3x－[3（x+1）－（1+4）]＝l

说明：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

三、巩固练习

教科书第9页，练习，l、2、3.

四、小结

学习了一元一次方程的概念，含有括号的一元一次方程的解法。用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号。

五、作业

1．教科书第12页习题6．2，2第l题。

新初三快扫码关注

本网微信公众号

每日推送学习技巧，学科知识点

助你迎接2020年中考！

一元一次方程

1、方程

含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。

初一数学一元一次方程应用题

知能点2：方案选择问题

6．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行细加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？为什么？

一般解法：

ⅰ去分母：两边同乘以各分母的最小公倍数；

ⅱ去括号；

ⅲ移项：移项要变号；

ⅳ合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

ⅴ系数化为1：两边同除以未知数的系数,得到方程的解x=b/a。

一元一次方程的应用(重点难点)：

列方程解应用题的关键是：仔细审题，找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。

几种常见问题：

1.和差倍分问题：这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。

2.行程相遇问题：三个基本量的关系路程=速度×时间

(1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:甲的路程+乙的路程=一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同)；

(2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。

3.工程任务问题：三个基本量的关系:工作量=工作效率×工作时间

一般情况下，把全部工作量看做1(即100%)，工作效率=1／工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。合作效率=各个人的效率之和。

4.利润问题：利润=售价-成本=成本×利润率；利润率=利润÷成本；实际售价=标价×折扣率。

5.分配问题：例：某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个，一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据)，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？

6.水上航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。

应用举例：

1.一本书，小明第一天读了十分之一，第二天读了10页，已读的是未读的1／4,请问这本书一共有多少页?

等量关系：已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的，未读的=总页数-已读的)。

2.某服装七月份下降了10%，八月份上升了10%，则八月份价格与原价比()

A.不变B.增加1%C.减少9%D.减少1%

注意：不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。

3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米,

(1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

(2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

分析(1):设经过x秒首次相遇。两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米甲的路程=甲的速度×时间x乙的路程=乙的速度×时间x得到方程:9x+7x=400

(2)设经过x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇,所以等量关系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。

4.一项任务,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天

分析:合作时间=工作量／合作效率工作量=1合作效率=甲的效率+乙的效率

甲的效率=工作量／甲的时间=1／x乙的效率=工作量／乙的时间=1／y

∴合作时间=1／(1／x+1／y)

5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元？

分析：设标价x元,等量关系:利润(求)÷成本(已知250元)=利润率(已知15.2%)

利润=实际售价(标价的9折即90%x)-成本250

∴(90%x-250)／250=15.2%

练习：小明、小红买工具，所带钱之比为7：6，小明用掉50元，小红用掉60元，两人余下钱之比为3：2,，求他们分别余下多少钱？

某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？

解：（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72

解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x

解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：90千瓦时，交32.40元。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

教学目的

使学生灵活应用解方程的一般步骤，提高综合解题能力。

重点、难点

1、重点：灵活应用解题步骤。

2、难点：在“灵活”二字上下功夫。

教学过程：

一、复习

1、一元一次方程的解题步骤。

2、分数的基本性质。

二、新授

例1．解方程（见课本）

分析：此方程的分母是小数，如果能把各分母化为整数，那么就可以用前面学过的方法求解了。那么怎样化简呢？引导学生分析，并求出方程的解。交流体会。

例2．解方程（见课本）

例3：已知公式V＝中，V＝120、D＝100、∏＝3.14，求n的值。（保留整数）

分析：在公式中，V、D、∏都已知，只要把它们的值代入公式，就可以得到关于n的一元一次方程。

三、巩固练习

根据公式V＝V0＋at，填写下列表中的空格。

四、小结

若方程的分母是小数，应先利用分数的性质，把分子、分母同时扩大若干倍，此时分子要作为一个整体，需要补上括号，注意不是去分母，不能把方程其余的项也扩大若干倍。

五、作业

教科书第13页第3题。

新初三快扫码关注

本网微信公众号

每日推送学习技巧，学科知识点

助你迎接2020年中考！

教学目的

掌握去分母解方程的方法，体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程，注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

重点、难点

1、重点：掌握去分母解方程的方法。

2、难点：求各分母的最小公倍数，去分母时，有时要添括号。

教学过程

一、复习提问

1．去括号和添括号法则。

2．求几个数的最小公倍数的方法。

二、新授

例1：解方程（见课本）

解一元一次方程有哪些步骤？

一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x＝a的形式。解题时，要灵活运用这些步骤。

补充例：解方程（x+15）＝－（x－7）

三、巩固练习

教科书第10页，练习1、2.

四、小结

1．解一元一次方程有哪些步骤？

2．掌握移项要变号，去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上。

五、作业

教科书第13页习题6.2，2第2题。

新初三快扫码关注

本网微信公众号

每日推送学习技巧，学科知识点

助你迎接2020年中考！

某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元。

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案。

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台。

（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程：1500x+2100（50-x）=90000

即5x+7（50-x）=3002x=50x=2550-x=25

②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，

可得方程1500x+2500（50-x）=900003x+5（50-x）=1800x=3550-x=15

③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．

可得方程2100y+2500（50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意

由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．

（2）若选择（1）中的方案①，可获利150×25+250×15=8750（元）

若选择（1）中的方案②，可获利150×35+250×15=9000（元）

9000>8750故为了获利最多，选择第二种方案。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。