一元一次的方程例题【20篇】

一元二次方程解法，一起来学习一下吧，了解以后再也不用担心辅导孩子功课了。

操作方法

公式法。将一元二次方程化成标准式。根据公式求得方程解，如下图。

配方法。即把常数c移到方程右边，再将二次项系数化为1，如下图。举个例子。

因式分解法，这里就讲下十字相乘法，这个常用，如下图。

例题

例１Ilearnedthatherfather____in1950.

AhaddiedBdiedCdeadDisdead

解析：该题正确答案为Ｂ。从句中的谓语动词动作虽然发生在主句谓语动词的动作之前，但因从句中有明确的过去时间状语in1950,所以不用过去完成时态，而用一般过去时态。

例２Thefive-year-oldgirl____byherparents.

AislookedBhaslookedfor

CisbeinglookedforDhasbeenlooked

解析：该题正确答案为Ｃ。在带有介词的动词短语用于被动语态句中，介词不能省，否则就变成了不及物动词短语，而不能用于被动语态的句子中。

一、定义和特点

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：ax的平方+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax的平方+叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。

二、方程起源

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年(2000BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约西元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。西元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代数方程，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liberembadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二)：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍;

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方;

在方程的两边同时开二次方。

三、性质

方程的两根与方程中各数有如下关系：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a(也称韦达定理)

方程两根为x1，x2时，方程为：x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得)

b^2-4ac>0有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0有两个相等的实数根，b^2-4ac

四、一般解法

一元二次方程的一般解法有以下几种：

配方法(可解部分一元二次方程)

公式法(在初中阶段可解全部一元二次方程，前提：△≥0)

因式分解法(可解部分一元二次方程)

直接开平方法(可解全部一元二次方程)

五、小结及例题

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法)。

例：用适当的方法解下列方程。(选学)

(1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0;(2)x^2+2x-3=0;(3)4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0

分析：

(1)首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差

公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。

(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。

(3)把方程变形为4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后利用十字相乘法因式分解。

(1)解：4(x+2)^2-9(x-3)^2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1，x2=13

(2)解：x^2+2x-3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3，x2=1

(3)解：4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0

4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1=(m+2)/2，x2=(m+3)/2

某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅。经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐。

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐。

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。

解：（1）设1个小餐厅可供y名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意得：

2（1680-2y）+y=2280

解得：y=360（名）

所以1680-2y=960（名）

（2）因为960×5+360×2=5520＞5300，

所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

题目：中考前夕，张强接到文学社长的通知，周末到冠豸山参加国际悬崖跳水比赛的采访活动。正想放松一下的张强把活动计划告诉了妈妈。妈妈对张强说：“我和你爸爸已经商量好了，等你中考一结束，我们就去海南旅游。”

（1）“妈妈”的言外之意是__________。

（2）请以张强的口吻，用得体的语言说服妈妈。

解析：这是一道根据特定的情景和人物来考查口语交际的试题。解答这类题目，考生必须根据设定的具体情景和人物来发表意见，必须了解讲话的原因、对象，讲话人的身份以及讲话的具体要求。这则一切要求在题干中都已经包含，即（1）“妈妈”说话的言外之意；（2）以张强的口吻，用得体的语言说服妈妈。因此，解答时只要言之有理，得体中听就可以了。

利用等式的性质对等式进行变形

【例1】（2014秋o淮南期末）以下等式变形不正确的是（）

A．由x=y，得到x+2=y+2B．由2a﹣3=b﹣3，得到2a=b

C．由m=n，得到2am=2anD．由am=an，得到m=n

总结：

1.等式可抽象为天平，当天平两边放相同质量的物体时，天平处于平衡状态；如果在天平的两边各加（或减）相同质量的物体，则天平仍然处于平衡状态．

2.等式变形时，每一步必须符合等式的性质，否则等式就不成立.在运用性质时特别注意以下两点：

（1）运用等式的性质1时，等式两边要同时加上（或减去）同一个数，即两边进行相同的运算；

（2）运用等式的性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母.

例1．在电解水的实验中，若与电源正极相连的试管内收集了nL气体，则与电源负极相连的试管内理论上可收集到（）

A．nLB．2nLC．0.5nLD.8nL

例2．日常生活中的下列各组物质，前者属于混合物、后者属于化台物的是（）

A．二氧化碳、铁B.冰水混合物、水C.医用酒精、双氧水D．水、臭氧

例3．水是（）①单质②化合物③纯净物④混合物⑤氧化物

A.①②⑤B.②③⑤C.③④D.②③

例4．在电解水这一变化中，没有变化的粒子是（）

A．水分子B.水原子C.氢、氧两种原子D．以上都不是

化学方程式：2CH3OH+3O2=2CO2+4H2O。

如果燃烧不完全，则会生成一氧化碳：8CH3OH+11O2=6CO2+2CO+16H2O。（这里注意等号上面要加上三角号也就是代表点燃的意思）

甲醇柴油由柴油、甲醇、添加剂组成。按照一定的体积或质量比经过严格的流程调配而成的新型环保清洁燃料。甲醇燃料是一种新的替代能源，一般分为甲醇汽油和甲醇柴油。甲醇燃料能够使用在汽油机上可以说经历了一个相当艰难的过程。最主要的是，甲醇燃料是国际上公认的清洁燃料，甲醇是一种含氧化合物，其燃烧排放比石油燃烧所生成的有害物质明显降低。

甲醇汽油是车用燃料替代并且它是新能源的替代品，一种以煤代油的路径。车用燃料是原油最主要的应用领域。

"三步"解决物态变化分析题

例1[2006青岛]夏天，刚从游泳池中出来，让风一吹感到很凉，为什么？

同学们都有这个经验，但在解释时仍会有一些不足。同学们的回答往往是：因为空气的流动带走了人身上的热量，这种解释是不够准确的。

下面我们利用"三步"法来分析这一现象。

一、首先来确定研究对象。我们感觉到凉只是身体上的感觉，而刚从游泳池中出来时身上有水，这时我们应当考虑到水的作用，水在蒸发时是要吸热的，从而使人感到凉，所以研究的对象是水。（有的同学可能会想到风，风在这里只是加速了水的蒸发，而并不是冷的风从人体吸热）。

二、在风吹时有什么变化呢？是空气流动形成的风，使得身上水的蒸发加快。

三、有风使空气流动加快，促进了水分的蒸发，使液态的水变为水蒸气，水分蒸发加快，而蒸发又要从人体吸热，从而使人感到凉。

答案：风吹加快了空气流动，促进了人身上水分的蒸发，而蒸发吸热，使水蒸发时从人体吸收了较多的热，所以人会感到凉。

例4．下表是几种常见气体和空气的性质，其中既能用排水法又能用向下排空气法收集的气体是（）

例5.按下图的装置制取二氧化碳并检验它的性质，完成下列问题：

（1）用装置A来制取二氧化碳，所用药品为_________和_________。

（2）若用装置C检验二氧化碳，装置C中发生反应的化学方程式为：__________________。

（3）若用装置B证明二氧化碳与水反应生成碳酸，装置B中盛放的试剂是_________。

（4）利用已收集到的二氧化碳气体，设计一个实验证明二氧化碳气体具有既不能燃烧，又不能支持燃烧，且密度比空气大的性质。（要求用语言叙述实验过程和现象）

一元二次方程的解法有换元法、公式法、配方法、因式分解法、直接开平法。

根据解决一元二次方程的方法来回答。一元二次方程的解决方案包括换元法、公式法、配方法、因式分解法和直接开平法。解决这个问题的关键突破是掌握解决一元二次方程的方法.这个问题考察了学生综合运用知识点的能力。

1..配方法(可解部分一元二次方程)

2.公式法(可解部分一元二次方程)

3.因式分解法(可解部分一元二次方程)

4.一元二次方程的解法(可以解决所有一元二次方程)真的不好(你买卡西欧fx-500或991的计算器有解方程，但一般形式)

一元二次方程和一元一次方程都是整体方程，是初中数学的重点内容，也是今后学习数学的基础。

一元二次方程的一般形式为：ax^2(2为次数，即X的平方) bx c=0,(a≠0)，它只包含一个未知数，而且未知数的最高次数是2。

例6．等质量的下列物质完全燃烧，消耗氧气的质量最多的是（）

A．H2B．CC．SD．Mg

例7．某同学检验刚从小商店买回的食盐是否是加碘食盐（加碘食盐中的碘元素是以碘酸钾KIO3的形式存在）。他查阅资料得知加碘食盐中的KIO3在酸性条件下能与KI溶液发生反应生成碘（I2），I2遇淀粉变蓝色。现提供下列试剂和生活中常见的物质：①白醋②白酒③白糖④KI溶液⑤纯碱⑥米汤，该同学进行检验必须选用的试剂和物质是（）

A、①②④B、①③④C、②③⑤D、①④⑥

例1.氧气和二氧化碳在性质上的相似点是（）

①都易溶于水②都能跟澄清石灰水反应③都是气体④都是氧化物

⑤都可用于灭火⑥通常状况下密度都比空气大

A．②③⑤B．③⑥C．①④⑤D．②④⑤

例2．鉴别氮气和二氧化碳可采用的简便方法是()

A．将气体分别通入水中B．测定两种气体的密度

C．将气体分别通人紫色石蕊试液D．将燃着的木条分别放入盛有气体的集气瓶中

例3．地球大气层中二氧化碳含量不断增加的后果是()

A．产生温室效应B．产生酸雨C．污染环境D．毒害作物

韦达定理的应用其实有很多方面，比如题意中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值；或者已知原方程，求关于方程的两根的代数式的值等等。

“一元二次方程根与系数的关系”一般指的是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x1,x2与系数的关系。即 x1+x2，b/a，x1·x2=c/a，这个公式通常称为韦达定理。

也就是说当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1，x2是方程x^2+bx+c=0则x1+x2=-b，x1·x2=c，这反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，这就是韦达定理。

例7．右图是某兴趣小组设计的一套实验装置，装置足以维持实验过程中小白鼠的生命活动。装置气密性良好。经数小时后，u形管A、B两处的液面情况是（）

(忽略水蒸气和温度变化对实验结果的影响)

A．A处上升，B处下降B．A、B两处都下降

C．A处下降，B处上升D．A、B两处都不变

例8．写出下列反应化学方程式：

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

教学目的

理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列一元一次方程解简单应用题。

重点、难点

1、重点：弄清应用题题意列出方程。

2、难点：弄清应用题题意列出方程。

教学过程

一、复习

1、什么叫一元一次方程？

2、解一元一次方程的理论根据是什么？

二、新授

例1、如图（课本第10页）天平的两个盘内分别盛有51克，45克食盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到月盘内，才能两盘所盛的盐的质量相等？

分析：等量关系；A盘现有盐＝B盘现有盐

检验所求出的解是否合理。培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

例2.学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了1400块，问初一同学有多少人参加了搬砖？

1．题目中有哪些已知量？

（1）参加搬砖的初一同学和其他年级同学共65名。

（2）初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块。

（3）初一和其他年级同学一共搬了1400块。

2．求什么？

初一同学有多少人参加搬砖？

3．等量关系是什么？

初一同学搬砖的块数十其他年级同学的搬砖数＝1400

三、巩固练习

教科书第12页练习1、2、3

四、小结

列方程解应用题的关键在于抓住能表示问题含意的一个主要等量关系，对于这个等量关系中涉及的量，哪些是已知的，哪些是未知的，用字母表示适当的未知数（设元），再将其余未知量用这个字母的代数式表示，最后根据等量关系，得到方程，解这个方程求得未知数的值，并检验是否合理。最后写出答案。

五、作业

新初三快扫码关注

本网微信公众号

每日推送学习技巧，学科知识点

助你迎接2020年中考！

二、例题分析：

例5．（潍坊市中考题）某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图一）作成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图二所示的坐标系进行计算。

（1）求该抛物线的解析式；（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度。

分析：图中给出了一些数量，并已经过护栏中心建立了平面直角坐标系，所以求二次函数的解析式关键是找到一些条件建立方程组。因为对称轴是y轴，所以b=0,可以设二次函数为y=ax2+c.

解：（1）在如图所示坐标中，设函数解析式为y=ax2+c,B点坐标为（0,0.5），C点坐标为（1，0）。

分别代入y=ax2+c得：

，解得

抛物线的解析式为：y=-0.5x2+0.5

（2）分别过AC的五等分点，C1，C2，C3，C4，作x轴的垂线，交抛物线于B1，B2，B3，B4，则C1B1，C2B2，C3B3，C4B4的长就是一段护栏内的四条立柱的长，点C3，C4的坐标为（0.2，0）、(0.6,0)，则B3，B4点的横坐标分别为x3=0.2,x4=0.6.

将x3=0.2和x4=0.6分别代入

y=-0.5x2+0.5得y3=0.48,y4=0.32

由对称性得知，B1，B2点的纵坐标：y1=0.32,y2=0.48

四条立柱的长为：C1B1=C4B4=0.32（m）

C2B2=C3B3=0.48（m）

所需不锈钢立柱的总长为

(0.32+0.48)×2×50=80(m)。

答：所需不锈钢立柱的总长为80m。

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程x2+px+q=0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

(1)在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数;

(2)把原方程变为(x+m)2=n的形式。

(3)若n≥0，用直接开平方法求出x的值，若n

用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为ax2+bx+c=0(a≠0，a≠1)时，用配方法解一元二次方程的步骤：

(1)先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数;

(2)移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为(x+m)2=n的形式;

(3)若n≥0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

操作方法

如图，方程为x^2+5x+6=0,我们要求解x的解。

方程里x一次项的系数是5，常数项是6，我们可以利用十字相乘法，画出如图这种形式。

根据上一步的十字相乘法，我们可以把方程变成(x+2)(x+3)=0，这样就非常好求解了。

根据步骤三的变换，我们很轻易就可以求出x1=-2，x2=-3。

例13．我国淡水资源非常短缺，所以在生产和生活中应该（）

A．减少饮水量，以节约用水B．将生活用水、工厂废水直接排放到湖泊或海洋中

C．既要防止和消除水体污染，又要节约用水D．水是取之不尽用之不竭的天然资源

例14.下列反应的生成物，不污染空气的是（）

A．在空气中燃烧煤B．在空气中燃烧石油C．燃放烟花爆竹D．氢气在空气中燃烧

例15.用直线把下列水污染物的来源和它的实例连结起来。

水污染物来源水污染实例

a工业污染①不合理使用化肥农药

b农业污染②用含磷洗衣粉洗衣后直接排放污水

c生活污染③冶金工业的废渣

d放射性污染④核废物投入深海中